2023　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$において，頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に向かい合う辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$で表し，$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大きさを，それぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$で表す．

$\sin A:\sin B:\sin C=3:7:8$

が成り立つとき，ある正の実数$k$を用いて

$a=\text{(1)}k\text{，}$$b=\text{(2)}k\text{，}$$c=\text{(3)}k$

と表すことができるので，この三角形の最も大きい角の余弦の値は$-{\displaystyle \frac{\text{(4)}}{\text{(5)}}}$であり，正接の値は$-\text{(6)}\sqrt{\text{(7)}}$である．さらに$\mathrm{▵ABC}$の面積が$54\sqrt{3}$であるとき，$k=\text{(8)}$となるので，この三角形の外接円の半径は$\text{(9)}\sqrt{\text{(10)}}$であり，内接円の半径は$\text{(11)}\sqrt{\text{(12)}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$m\text{，}$$n$を自然数とし，$p$を実数とする．平面上の点$(p,{\displaystyle \frac{p}{2}})$に関して点$(m,n)$と対称な点が$(-3m^2-4mn+5m,n^2-3n-3)$であるとき，関係式

$\text{(13)}{m}^2+2(\text{(14)}n-\text{(15)})m$$+2(n+\text{(16)})(n-\text{(17)})=0$

が成り立つ．ゆえに$m=\text{(18)}\text{，}$$n=\text{(19)}\text{，}$$p=\text{(20)}\text{(21)}$である．

【２】　数列$\{a_n\}$に対して$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$$\text{(}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とし，さらに$S_0=0$と定める．$\{a_n\}$は，

$S_n={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}(n+3)a_{n+1}$$\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

(1)　$a_1={\displaystyle \frac{\text{(22)}}{\text{(23)}}}$である．また$n\geqq 1$に対して$a_n=S_n-S_{n-1}$であるから，関係式

$(n+\text{(24)})a_{n+1}=(n+\text{(25)})a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\text{(＊)}$

が得られる．数列$\{b_n\}$を，

$b_n=n(n+1)(n+2)a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めると，$b_1=\text{(26)}$であり，$n\geqq 1$に対して$b_{n+1}=\text{(27)}{b}_n$が成り立つ．ゆえに

$a_n={\displaystyle \frac{\text{(28)}}{n(n+1)(n+2)}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が得られる．

　次に，数列$\{T_n\}$を$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{a_k}{(k+3)(k+4)}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定める．

(2)　(＊)より導かれる関係式

${\displaystyle \frac{a_k}{k+3}}-{\displaystyle \frac{a_{k+1}}{k+4}}={\displaystyle \frac{\text{(29)}{a}_k}{(k+3)(k+4)}}$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を用いると，

$T_n=A-{\displaystyle \frac{\text{(30)}}{\text{(31)}(n+p)(n+q)(n+r)(n+s)}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が得られる．ただしここに，$A={\displaystyle \frac{\text{(32)}}{\text{(33)}\text{(34)}}}$であり，$p<q<r<s$として$p=\text{(35)}\text{，}$$q=\text{(36)}\text{，}$$r=\text{(37)}\text{，}$$s=\text{(38)}$である．

(3)　不等式

$|T_n—A|<{\displaystyle \frac{1}{10000(n+1)(n+2)}}$

を満たす最小の自然数$n$は$n=\text{(39)}\text{(40)}$である．

【３】　袋の中に，$1$から$9$までの数字を重複なく$1$つずつ記入したカードが$9$枚入っている．この袋からカードを$1$枚引き，カードに記入された数字を記録してから袋に戻すことを試行という．この試行を$5$回繰り返し行う．また以下の(a)，(b)に従い，各回の試行後の点数を定める．ただし，$1$回目の試行前の点数は$0$点とする．

(a)　各回の試行後，その回の試行で記録した数字と同じ数字のカードをそれまでに引いていない場合は，その回の試行前の点数にその回の試行で記録した数字を加える．

(b)　各回の試行後，その回の試行で記録した数字と同じ数字のカードをそれまでに引いている場合は，その回の試行前の点数にその回の試行で記録した数字を加え，さらに$1000$点を加える．

(1)　$3$回の試行後の点数は$23$点であった．それまでに引いた$3$枚のカードに記入された数字は，小さい順に$\text{(41)}\text{，}$$\text{(42)}\text{，}$$\text{(43)}$である．これら$3$つの数字の分散は${\displaystyle \frac{\text{(44)}\text{(45)}}{\text{(46)}}}$である．

(2)　$4$回の試行後の点数が$23$点となる確率は${\displaystyle \frac{\text{(47)}}{\text{(48)}\text{(49)}\text{(50)}}}$である．

(3)　$2$回の試行後の点数が$8$点または$1008$点となる確率は${\displaystyle \frac{\text{(51)}}{\text{(52)}\text{(53)}}}$である．

(4)　$2$回の試行後の点数が$8$点または$1008$点であるとき，5回の試行後の点数が$2023$点となる条件付き確率は${\displaystyle \frac{\text{(54)}\text{(55)}}{\text{(56)}\text{(57)}\text{(58)}\text{(59)}}}$である．

【４】　$x\text{，}$$y$を正の実数とし，$z=2{\log }_{2}x+{\log }_{2}y$とする．また$k$を正の実数とする．

(1)　$x\text{，}$$y$が$x+y=k$を満たすとき，$z$の取りうる値の最大値$z_1$およびそのときの$x$の値を，$k$を用いて表せ．

(2)　$x\text{，}$$y$は$x+y=k$または$kx+y=2k$を満たすとする．このとき，$z$の取りうる値の最大値$z_2$が(1)の$z_1$と一致するための必要十分条件を，$k$を用いて表せ．

(3)　$n$を自然数とし，$k=2^{\frac{n}{5}}$とする．(2)の$z_2$について，${\displaystyle \frac{3}{2}}<z_2<{\displaystyle \frac{7}{2}}$を満たす$n$の最大値および最小値を求めよ．なお，必要があれば$1.58<{\log }_{2}3<1.59$を用いよ．

【５】　$xyz$空間における$8$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{E}$$(1,0,1)\text{，}$$\mathrm{F}$$(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{G}$$(0,1,1)$を頂点とする立方体$\mathrm{OABC‐DEFG}$を考える．また$p$と$q$は，$p>1\text{，}$$q>1$を満たす実数とし，$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を$\mathrm{P}$$(p,0,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,q,0)\text{，}$$\mathrm{R}$$(0,0,{\displaystyle \frac{3}{2}})$とする．

(1)　$a\text{，}$$b$を実数とし，ベクトル$\overrightarrow{n}=(a,b,1)$は$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$の両方に垂直であるとする．$a\text{，}$$b$を，$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

　以下では$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{F}$を通り平面$\alpha$に垂直な直線を$l$とする．また，$xy$平面と直線$l$の交点の$x$座標が${\displaystyle \frac{2}{3}}$であるとし，点$\mathrm{B}$は線分$\mathrm{PQ}$上にあるとする．

(2)　$p$および$q$の値を求めよ．

(3)　平面$\alpha$と線分$\mathrm{EF}$の交点$\mathrm{M}$の座標，および平面$\alpha$と直線$\mathrm{FG}$の交点$\mathrm{N}$の座標を求めよ．

(4)　平面$\alpha$で立方体$\mathrm{OABC‐DEFG}$を$2$つの多面体に切り分けたとき，点$\mathrm{F}$を含む多面体の体積$V$を求めよ．

【６】　$a\text{，}$$b$を実数の定数とする．また，$x$の関数$f(x)=x^3-ax+b$は

$a={\displaystyle {\int }_{-1}^1}\{{\displaystyle \frac{3}{2}}b|x^2+x|-f(x)\}\mathit{dx}$

を満たすとする．

(1)　$b$を，$a$を用いて表せ．

(2)　$y=f(x)$で定まる曲線$C$と$x$軸の共有点の個数がちょうど$2$個となるような$a$の値を求めよ．また，曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．なお，必要があれば$\alpha <\beta$を満たす実数$\alpha \text{，}$$\beta$に対して成り立つ公式

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}{(x-\alpha )}^2(x-\beta )\mathit{dx}=-{\displaystyle \frac{1}{12}}{(\beta -\alpha )}^4$

を用いてもよい．