2023　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$2$つの正の実数$x\text{，}$$y$について，$x{y}^2=10$のとき，${\log }_{10}x\cdot {\log }_{10}y$の最大値は${\displaystyle \frac{\text{(1)}}{\text{(2)}}}$である．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(ⅱ)　$xy$平面上において，点$(4,3)$を中心とする半径$1$の円と直線$y=mx$が共有点を持つとき，定数$m$のとり得る最大値は

${\displaystyle \frac{\text{(3)}}{\text{(4)}}}+{\displaystyle \frac{\text{(5)}\sqrt{\text{(6)}}}{\text{(7)}\text{(8)}}}$

である．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(ⅲ)　$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{N}$とする．また辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{L}$を定め，$\mathrm{DL}=x$とする．このとき，$\mathrm{▵LMN}$の面積が$\mathrm{▵ABC}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{3}}$になるのは

$x={\displaystyle \frac{\text{(9)}}{\text{(10)}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{(11)}\text{(12)}}}{\text{(13)}}}$

のときである．

【２】　$a>0\text{，}$$b<0$とする．放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2$上の点$\mathrm{A}$$(a,{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2)$と点$\mathrm{B}$$(b,{\displaystyle \frac{3}{2}}{b}^2)$について，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$における放物線の接線をそれぞれ$l$と$m$で表し，その交点を$\mathrm{P}$とする．

(ⅰ)　$l$と$m$が直交するとき，交点$\mathrm{P}$の$y$座標は$-{\displaystyle \frac{\text{(14)}}{\text{(15)}}}$である．

(ⅱ)　$a=2$で，$\mathrm{\angle APB}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．このとき，$b$の値は$-{\displaystyle \frac{\text{(16)}}{\text{(17)}\text{(18)}}}$である．

(ⅲ)　$b=-a$で，$\mathrm{\angle APB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．このとき，$a$の値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{(19)}}}{\text{(20)}}}$である．また$\mathrm{PA}$を半径，$\mathrm{\angle APB}$を中心角として扇形$\mathrm{PAB}$が定まる．この扇形は放物線$C$によって$2$つの図形に分割され，大きい図形の面積と小さい図形の面積の差は

${\displaystyle \frac{\text{(21)}}{\text{(22)}}}\pi -{\displaystyle \frac{\text{(23)}\sqrt{\text{(24)}}}{\text{(25)}}}$

である．

【３】　平面上に$3$点$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$が，$\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}\right|=\sqrt{6}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}\right|={\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{5}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}\perp \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}$となるように与えられている．また，点$\mathrm{O}$から直線${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$に引いた垂線と直線${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$との交点を$\mathrm{H}$とする．

　さらに平面上に点${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4\text{，}$${\mathrm{P}}_5\text{，}\cdots$を，$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対し，点${\mathrm{P}}_{n+2}$が点${\mathrm{P}}_n$と点${\mathrm{P}}_{n+1}$を結ぶ線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$を$4:1$に内分するように定める．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}$を使って，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を表すと

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\text{(ア)}$

である．

(ⅱ)　$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}$を使って$\overrightarrow{\mathrm{H}{\mathrm{P}}_n}$を$n$を用いた式で表すと

$\overrightarrow{\mathrm{H}{\mathrm{P}}_n}=\text{(イ)}$

である．

(ⅲ)　ベクトルを使わずに，${\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}\right|}^2$を$n$を用いた式で表すと

${\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}\right|}^2=\text{(ウ)}$

である．

【４】　太郎は$15$個の球を，花子は$21$個の球を持っている．ここから始めて，次の手順による球のやり取りを，$2$人の間で繰り返す．

この手順【1】，【2】によるやり取りを，$7$回繰り返す．その結果，太郎と花子が持つ球の個数について，以下の問いに答えなさい．

(ⅰ)　太郎と花子が同数の球を持っている確率は

${\displaystyle \frac{\text{(26)}\text{(27)}\text{(28)}}{\text{(29)}\text{(30)}\text{(31)}\text{(32)}}}$

である．

(ⅱ)　持っている球の数が，太郎と花子の$2$人とも最初と変わらない確率は

${\displaystyle \frac{\text{(33)}\text{(34)}\text{(35)}}{\text{(36)}\text{(37)}\text{(38)}\text{(39)}}}$

である．

(ⅲ)　太郎が持っている球の数が，花子が持っている球の数の半分である確率は

${\displaystyle \frac{\text{(40)}\text{(41)}\text{(42)}}{\text{(43)}\text{(44)}\text{(45)}\text{(46)}}}$

である．