2023　東京理科大学　経営学部B方式2月2日実施

【１】　文章中の$\text{ア}$から$\text{ス}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$3\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数である．

　整数に対する次の条件を考える．

条件$\mathrm{A}\text{：}$$5$の倍数である

条件$\mathrm{B}\text{：}$$7$の倍数である

条件$\mathrm{C}\text{：}$$11$の倍数である

(1)　$1$以上$2023$以下の整数で，条件$\mathrm{A}$と条件$\mathrm{B}$のいずれも成り立つような数の個数は$\text{ア}\text{イ}$である．

(2)　$1$以上$2023$以下の整数で，条件$\mathrm{A}$は成り立つが，条件$\mathrm{B}$は成り立たないような数の個数は$\text{ウ}\text{エ}\text{オ}$である．

(3)　$1$以上$2023$以下の整数で，条件$\mathrm{A}$と条件$\mathrm{B}$のいずれも成り立つが，条件$\mathrm{C}$が成り立たないような数の個数は$\text{カ}\text{キ}$である．

(4)　$1$以上$2023$以下の整数で，条件$\mathrm{A}$は成り立つが，条件$\mathrm{B}$と条件$\mathrm{C}$のいずれも成り立たないような数の個数は$\text{ク}\text{ケ}\text{コ}$である．

(5)　整数に対する次の条件を考える．

条件$\mathrm{D}\text{：}$$5$の倍数であるが，$7$の倍数でない

条件$\mathrm{E}\text{：}$$7$の倍数であるが，$11$の倍数でない

条件$\mathrm{F}\text{：}$$5$の倍数であるが，$11$の倍数でない

$1$以上$2023$以下の整数で，条件$\mathrm{D}\text{，}$条件$\mathrm{E}\text{，}$条件$\mathrm{F}$のうち少なくとも一つの条件が成り立つような数の個数は$\text{サ}\text{シ}\text{ス}$である．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を実数とし，$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$とおく．関数$f(x)$は$x=-1$と$x=1$で極値をとり，曲線$y=f(x)$は$2$点$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}$$({\displaystyle \frac{1}{2}},0)$を通るとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の極大値と極小値の差の絶対値を求めよ．

(3)　$2$点$(-1,f(-1))\text{，}$$(1,f(1))$を通る直線の方程式を$y=g(x)$とする．$g(x)$を求め，曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３】　(1)から(3)までは，文章中の$\text{ア}$から$\text{ヌ}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$1\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$4\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数であり，分数は既約分数として表しなさい．また，根号を含む解答では，根号の中に現れる自然数は最小になる形で答えなさい．(4)では，文章中の$\text{ネ}$から$\text{ハ}$までで，それぞれの解答群からあてはまるものを選んで，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　次の漸化式によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n+4}{a_n+1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

各$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，$b_n={\displaystyle \frac{a_n+1}{a_n+2}}$とおくと，

$b_1={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\text{，}$$b_{n+1}=-{\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}{b}_n+\text{オ}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つ．このことから，

$a_n=-{\displaystyle \frac{\text{カ}+\text{キ}{(-3)}^n}{\text{ク}-{(-3)}^n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つ．

【３】　(1)から(3)までは，文章中の$\text{ア}$から$\text{ヌ}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$1\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$4\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数であり，分数は既約分数として表しなさい．また，根号を含む解答では，根号の中に現れる自然数は最小になる形で答えなさい．(4)では，文章中の$\text{ネ}$から$\text{ハ}$までで，それぞれの解答群からあてはまるものを選んで，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　条件

$16{({\log }_{4}a)}^3-9{({\log }_{8}a)}^2$$-52{\log }_{16}a$$-30{\log }_{32}2=0$

を満たすような正の実数$a$を求めると，$a={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{サ}}}{\text{シ}}}\text{，}$$\text{ス}$である．

【３】　(1)から(3)までは，文章中の$\text{ア}$から$\text{ヌ}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$1\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$4\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数であり，分数は既約分数として表しなさい．また，根号を含む解答では，根号の中に現れる自然数は最小になる形で答えなさい．(4)では，文章中の$\text{ネ}$から$\text{ハ}$までで，それぞれの解答群からあてはまるものを選んで，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　工場$\mathrm{A}\text{，}$工場$\mathrm{B}\text{，}$工場$\mathrm{C}$で，ある製品が製造されている．工場$\mathrm{A}\text{，}$工場$\mathrm{B}\text{，}$工場$\mathrm{C}$で製造される製品の割合は$6:9:5$である．工場$\mathrm{A}$は$3\mathrm{\%}\text{，}$工場$\mathrm{B}$は$1\mathrm{\%}\text{，}$工場$\mathrm{C}$は$2\mathrm{\%}$の確率で，不良品を製造することがわかっている．取り出した$1$つの製品が工場$\mathrm{A}\text{，}$工場$\mathrm{B}\text{，}$工場$\mathrm{C}$によって製造されたものであるという事象をそれぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$で表すこととして，この取り出した製品が不良品であるという事象を$E$とする．このとき，事象$E$の確率$P(E)$は

$P(E)={\displaystyle \frac{\text{セ}\text{ソ}}{\text{タ}\text{チ}\text{ツ}\text{テ}}}$

となる．製品全体の中から$1$個の製品を無作為に取り出すとする．取り出した製品が不良品であるという条件の下で，その製品が工場$\mathrm{A}$によって製造されたものである確率$P_E(A)$は

$P_E(A)={\displaystyle \frac{\text{ト}\text{ナ}}{\text{ニ}\text{ヌ}}}$

となる．

【３】　(1)から(3)までは，文章中の$\text{ア}$から$\text{ヌ}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$1\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$4\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数であり，分数は既約分数として表しなさい．また，根号を含む解答では，根号の中に現れる自然数は最小になる形で答えなさい．(4)では，文章中の$\text{ネ}$から$\text{ハ}$までで，それぞれの解答群からあてはまるものを選んで，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(4)　$47$都道府県の幸福度の順位$x$と経済指標の順位$y$の変数の組を$(x_i,y_i)$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$47\text{）}$で表す．幸福度と経済指標のいずれの順位においても，都道府県ごとに$1$から$47$までの順位が重複なく割り当てられるとして，次の問に答えよ．

(a)　$f_i=y_i-x_i$として，$x$と$y$の相関係数$r$を，$f_i$を用いて表すと，$\text{ネ}$である．

(b)　$x_i=y_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$45\text{），}$$x_i\ne y_i$$\text{（}i=46\text{，}$$47\text{）}$のとき，$r$の最大値は$\text{ノ}$であり，最小値は$\text{ハ}$である．

【１】　$4$つの袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$がある．$\mathrm{A}$には白球$4$個と赤球$6$個，$\mathrm{B}$には白球$5$個と赤球$5$個，$\mathrm{C}$には白球$6$個と赤球$4$個，$\mathrm{D}$には白球$7$個と赤球$3$個がそれぞれ入っている．ここで大きさの異なる$2$つのサイコロを振り，出た目の和が$2$または$3$のとき$\mathrm{A}$から，$4\text{，}$$5\text{，}$$6$のいずれかのとき$\mathrm{B}$から，$7\text{，}$$8\text{，}$$9$のいずれかのとき$\mathrm{C}$から，$10\text{，}$$11\text{，}$$12$のいずれかのとき$\mathrm{D}$から，同時に$2$つの球を取り出す．次の問いに答えなさい．

(1)　取り出した球が白球$2$つである確率を求めなさい．

(2)　取り出した球が赤球$1$つと白球$1$つである確率を求めなさい．

(3)　取り出した球が白球$2$つであったとき，どの袋から取り出された確率が最も高いか答えなさい．

【２】　$a$を負の定数とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)=x^2+ax+1$とする．方程式$f(x)=0$が実数解をもつような$a$の値の範囲を求めなさい．

(2)　$g(x)=x^4+(a+12)x^3$$+(12a+28)x^2$$+(27a+1)x+27$とする．方程式$g(x)=0$が$3$つの異なる実数解をもつような$a$の値を求めなさい．

(3)　(2)で求めた$a$の値を用いて，$x$がすべての実数値を動くとき，$g(x)$の最小値を求めなさい．

【３】　$a$を正の定数，$t$を$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であるような定数とする．$f(x)={\displaystyle \frac{2a\cos x}{{\cos }^{2}x+a^2{\sin }^{2}x}}$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$が$x=t$で極大であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)$を微分しなさい．

(2)　$a$のとり得る値の範囲を求めなさい．

(3)　$f(t)$を，$a$を用いて表しなさい．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^t}f(x)\mathit{dx}$を，$a$を用いて表しなさい．