2023　東邦大学　医学部医学科MathJax

2023-13460-0201

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2023　東邦大学　医学部医学科

2月7日実施

易□　並□　難□

【１】　 $1$ つの問題には $4$ つの選択肢があり，この選択肢の中から正しいものを $1$ つ解答する．問題が全部で $5$ 題あり，それぞれの問題に対して $1$ つの選択肢を無作為に選んで解答するとき， $4$ 題以上正解する確率は $\frac{ア}{イウ}$ であり，少なくとも $2$ 題正解する確率は $\frac{エオ}{カキク}$ である．

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【２】　実数 $x ，$ $y$ がそれぞれ $\frac{1}{\log_{3} x} - \frac{1}{\log_{2} x} = \frac{1}{3} ，$ $\frac{1}{2^{3 y - 1}} + \frac{1}{8^{2 y - 1}} = 1$ を満たすとき， $x = \frac{ケコ}{サ} ，$ $\log_{x} y = \frac{シス}{セ}$ である．

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【３】　座標空間において， $3$ 点 $A$ $(2, - 1, - 5) ，$ $B$ $(1, 0, - 4) ，$ $C$ $(- 1, 3, 1)$ の定める平面を $α$ とする．点 $P$ $(a, a, a)$ が平面 $α$ 上にあるとき， $a$ の値は $a = \frac{ソ}{タ}$ である．点 $Q$ $(b, c, - 7)$ があり，直線 $AQ$ が平面 $α$ に直交するとき， $b$ と $c$ の値はそれぞれ $b = チ，$ $c = ツ$ である．

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【４】　 $▵ABC$ において， $AB = 5 ，$ $BC = 2 \sqrt{6} ，$ $CA = 3$ とする． $▵ABC$ の外接円の半径は $\frac{ア \sqrt{イ}}{ウ}$ である． $▵ABC$ の外心を $O ，$ $∠A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき， $OD = \frac{エ \sqrt{オ}}{カ}$ である．

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【５】　 $x ，$ $y ，$ $z$ を整数とする． $3 x - 23 y = 104$ を満たすとき， $| 2 x - 3 y |$ の最小値は $キク$ である． $5 x - 9 y - 2 z = 18$ および $- 6 x + 2 y + 3 z = 25$ を満たすとき， $| x + y + z |$ の最小値は $ケコ$ である．

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【６】　複素数平面上に，異なる $3$ 点 $A (α) ，$ $B (β) ，$ $C (γ)$ と， $z = \frac{2 α - 3 β + 6 γ}{5}$ を満たす点 $P (z)$ がある．直線 $AP$ と直線 $BC$ の交点を $Q$ とすると， $\frac{AP}{AQ} = \frac{サ}{シ}$ である．また，直線 $AC$ と直線 $BP$ の交点を $R$ とすると， $\frac{BP}{BR} = \frac{ス}{セ}$ である．

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【７】　 $m ，$ $n$ を自然数として， $S_{n} (m) = \sum_{k = 1}^{n} k^{m}$ とする．このとき， $\lim_{n \to \infty} \frac{{S_{n} (1)}^{3}}{{S_{n} (2)}^{2}} = \frac{ソ}{タ} ，$ および $\lim_{n \to \infty} \frac{{S_{n} (3)}^{3}}{{S_{n} (5)}^{2}} = \frac{チ}{ツテ}$ が成り立つ．

2023-13460-0208

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【８】　 $2$ つの変量の組 $(x, y)$ についてのデータがあり，変量 $x$ の分散は $9 ，$ 変量 $y$ の分散は $4 ，$ $x$ と $y$ の相関係数 $r$ は $0 ≦ r ≦ 1$ の範囲の値をとることがわかっている．このとき， $x$ と $y$ の共分散 $C$ のとり得る値の範囲は $ア ≦ C ≦ イ$ である．また，変量 $z$ を $z = x - y$ で定めるとき， $z$ の分散 $V$ のとり得る値の範囲は $ウ ≦ V ≦ エオ$ である．

2023-13460-0209

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【９】　座標空間において，不等式 $\frac{10}{3} (x + y + z - 7)$ $≧ x^{2} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{z^{2}}{3} - 7$ の表す立体を $E$ とする． $E$ と平面 $z = t$ が交わるような定数 $t$ のとり得る値の範囲は $カ ≦ t ≦ キ$ である．また， $E$ の体積は $\frac{ク \sqrt{ケ}}{コ} π$ である．

2023-13460-0210

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【10】　対数は自然対数とする．関数

$f (x) = {(\sin x + \cos x)}^{5 \sin x + 5 \cos x + \log (\sin x + \cos x)}$

について， $f^{'} (\frac{π}{2}) = サシ，$ $f^{″} (\frac{π}{2}) = スセ$ である．