2023　東邦大学　薬学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　初項が$-2\text{，}$末項が$22\text{，}$項数が$7$である等差数列の和は$\text{ア}\text{イ}$である．また，等比数列$2,-6,18,-54,\cdots$の初項から第$n$項までの和は${\displaystyle \frac{1-{(-\text{ウ})}^n}{\text{エ}}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}+1}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-1}}$のとき，$x^2-y^2=-{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{オ}}}{\text{カ}}}$である．また，${\displaystyle \frac{y}{x}}+{\displaystyle \frac{x}{y}}=\text{キ}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$\overrightarrow{a}=(2,6)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(1,-3)$のとき，$\overrightarrow{c}=(3,-1)$を$k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b}$の形で表すと$\overrightarrow{c}={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}\overrightarrow{b}$である．また，ベクトル$\overrightarrow{d}$に対し，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d}=18\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}=-3$のとき，$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}=\text{シ}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　$2$次方程式$x^2-2kx+8k-7=0$が異なる$2$つの正の実数解をもつときの定数$k$の値の範囲は${\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}<k<\text{ソ}\text{，}$$\text{タ}<k$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　関数$f(x)=5^x+5^{-x}$の最小値は$\text{チ}$である．また，実数$a$が$5^a-5^{-a}=6$を満たすとき，${\log }_{5}f(a)={\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}+{\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ<mspace width=".2em"></mspace>}}}{\log }_5\text{ニ}$が成り立つ．ただし，$\text{ニ}$は素数であるものとする．

【１】　以下の問いに答えよ．

(6)　本当のことを言う確率が$60\mathrm{\%}$である人が$3$人いる．$3$人がそれぞれ$1$枚ずつ硬貨を投げて，$3$人とも表が出たと報告した．このとき，3枚とも本当に表が出ていた確率は${\displaystyle \frac{\text{ヌ}\text{ネ}}{\text{ノ}\text{ハ}\text{ヒ}}}$である．また，本当は裏が出ていたのが$1$枚かまたは$2$枚であった確率は${\displaystyle \frac{\text{フ}\text{ヘ}}{\text{ホ}\text{マ}}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(7)　関数$y=1+\sin \theta -\cos \theta +\sin \theta \cos \theta$について，$\sin \theta -\cos \theta =t$とおいたとき，$y$を$t$で表すと$-{\displaystyle \frac{\text{ミ}}{\text{ム}}}{t}^2+\text{メ}t+{\displaystyle \frac{\text{モ}}{\text{ヤ}}}$となる．また，$\theta$が${\displaystyle \frac{5}{12}}\pi \leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{7}{12}}\pi$の範囲を動くとき，$y$のとりうる値の範囲は${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ユ}}}{2}}+{\displaystyle \frac{\text{ヨ}}{\text{ラ}}}\leqq y\leqq \text{リ}$である．

【２】　$3$次関数の増減に関する以下の問いに答えよ．

(1)　定数$a\text{，}$$b$について，関数$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+a{x}^2+bx$が$x=-3$で極大値をとり，$x=1$で極小値をとるとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(2)　定数$\alpha \text{，}$$\beta$について$\alpha <\beta$とする．関数$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+a{x}^2+bx$が$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta$で極小値をとるとき，$a\text{，}$$b$を$\alpha \text{，}$$\beta$で表せ．

(3)　ある$3$次関数$y=f(x)$が$x=-3$で極大値$3\text{，}$$x=1$で極小値$-1$をとるとき，$f(x)$を求めよ．