2023　東邦大学　理学部B日程共通MathJax

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$pq-3p-2q+2=0$を満たす整数$p\text{，}$$q$の組は全部で$\text{ア}$通りあり，そのうち積$pq$の最大値は$\text{イ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　$f(x)=2x-|x+2|+|2x-1|$とするとき，$y=f(x)$のグラフと直線$y=k$との共有点が$3$つあるための条件は，$\text{ウ}<k<\text{エ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　$x\text{，}$$\theta$は実数で$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たし，

$9^{{\sin }^2\theta }+9^{{\cos }^2\theta }=x$

が成り立つとする．$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき$x=\text{オ}$であり，$x=6$のとき$\theta =\text{カ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{2023}}{\log }_{10}{\displaystyle \frac{5n+1}{5n-4}}$の整数部分は$\text{キ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅴ)　${\displaystyle {\int }_0^2}(|x^2-1|+2x)\mathit{dx}=\text{ク}$である．

【２】　四角形$\mathrm{ABCD}$は円$\mathrm{O}$に内接し，$\mathrm{AB}=x\text{，}$$\mathrm{BC}=x+1\text{，}$$\mathrm{CD}=5\text{，}$$\mathrm{DA}=6$および$\cos \mathrm{\angle ABC}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$を満たしている．次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$\cos \mathrm{\angle CDA}=\text{ケ}\text{，}$$\mathrm{AC}=\text{コ}$である．

(ⅱ)　$x$の値は$\text{サ}$である．

(ⅲ)　円$\mathrm{O}$の半径は$\text{シ}$である．

(ⅳ)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\text{ス}$である．

(ⅴ)　$\mathrm{\angle ABD}={\theta }_1\text{，}$$\mathrm{\angle CBD}={\theta }_2$とするとき，${\displaystyle \frac{\sin {\theta }_1}{\sin {\theta }_2}}=\text{セ}$である．

【３】　整数$p\text{，}$$q$に対し実数$\alpha \text{，}$$\beta$が$\alpha +\beta =2p\text{，}$$\alpha \beta =4q$を満たしている．数列$\{a_n\}$を$a_n={\alpha }^n+{\beta }^n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で定義するとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_1$と$a_2$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(ⅱ)　$a_{n+2}$を$a_{n+1}\text{，}$$a_n$と$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(ⅲ)　$a_n=2^n{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，$b_{n+2}\text{，}$$b_{n+1}\text{，}$$b_n$の間に成り立つ関係式を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(ⅳ)　すべての$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して$a_n$が$2^n$で割り切れる整数であることを，数学的帰納法によって証明せよ．

【４】　$a\text{，}$$b$は$0<a<1\text{，}$$b>0$を満たす実数の定数とする．関数$f(x)=\cos (ax+b)$について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$および$f^{″}(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{\pi -b}{a}}$において極小値をとることを示せ．

(ⅲ)　自然数$n$に対して$f$の第$n$次導関数を$f_n(x)$とするとき，

$f_n(x)=a^n\cos (ax+b+{\displaystyle \frac{n\pi }{2}})$

となることを証明せよ．

(ⅳ)　数列$\{c_n\}$を

$c_n=f_n(-{\displaystyle \frac{n\pi }{2a}})-f_{n+2}(-{\displaystyle \frac{n\pi }{2a}})$

とするとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{c}_n$の和を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．