2023　東邦大学　理学部B英数択一MathJax

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(1)　$f(x)=2x+1\text{，}$$g(x)=x^2$とする．$x$の整式$p(x)$に対して$p(f(x))=g(x)$が成り立つとき，$p(x)=\text{ア}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(2)　複素数平面上に原点$\mathrm{O}$と異なる$2$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$がある．$\alpha =1+\sqrt{3}i$であり，点$\mathrm{B}(\beta )$は点$\mathrm{A}(\alpha )$と虚軸に関して対称な点とする．三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の面積は$\text{イ}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(3)　複素数平面上で点$z$が原点を中心とする半径$r$の円周上を動くとする．このとき$w={\displaystyle \frac{3z-1}{2z-1}}$を満たす点$w$が描く図形が直線になる$r$の値は$\text{ウ}$である．ただし，$r$は正の実数とする．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=\theta$とする．$\mathrm{\angle ACB}=\alpha$として三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を$\tan \theta \text{，}$$\tan \alpha$で表すと$\text{エ}$である．また$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とするとき$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{S}{\theta }}=\text{オ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(5)　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{25}}+{\displaystyle \frac{y^2}{16}}=1$上の点$\mathrm{P}$$(u,v)$における接線の傾きを$u$を用いて表すと$\text{カ}$である．ただし，$u>0\text{，}$$v>0$とする．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(6)　$n$を自然数とする．次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }\{{\displaystyle \frac{n}{{(n+1)}^2}}+{\displaystyle \frac{n}{{(n+2)}^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{n}{{(2n)}^2}}\}=\text{キ}\text{．}$

【２】　楕円$C$の方程式を${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$とする．次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

【３】　$f(x)=(a{x}^2-x+1)e^{-x}$とする．ここで${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq 1$である．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底であるとする．