2023　東邦大学　健康科学部看護学科A日程MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x=2+\sqrt{3}i$のとき，$x^3-6x^2+7x+1=\text{アイ}-\text{ウ}\sqrt{3}i$である．ただし，$i$は虚数単位を表す．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　方程式$x+2\sqrt{x^2}=5$の解は，$x=\text{エオ}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}$である．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　次の$\text{ク}$に適するものを下の$\text{①}\text{〜}$$\text{④}$から選べ．

　$a\text{，}$$b$を実数とする．$a^2+b^2<1$は，$a+b<1$であるための$\text{ク}$

$\text{①}$　必要条件であるが，十分条件でない．

$\text{②}$　十分条件であるが，必要条件でない．

$\text{③}$　必要十分条件である．

$\text{④}$　必要条件でも十分条件でもない．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$7^{56}$の$1$の位の数字は$\text{ケ}$である．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　${\log }_{10}7=0.8451$とする．$7^{50}$は$\text{コサ}$桁の整数である．

【１】　次の問いに答えよ．

(6)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式$\cos 2\theta +2\sin \theta +\sqrt{3}<\sqrt{3}\sin \theta +1$の解は，${\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}\pi <\theta <{\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}\pi$である．

【２】　$k$を実数の定数とする．$2$次方程式$x^2-2kx-k+6=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつ．

(1)　$k$のとり得る値の範囲は$k<\text{アイ}\text{，}$$\text{ウ}<k$である．

(2)　$\alpha >0$かつ$\beta >0$となるような$k$の値の範囲は$\text{エ}<k<\text{オ}$である．

(3)　$\alpha$と$\beta$が異符号となるような$k$の値の範囲は$k>\text{カ}$である．

【３】　円$O$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{CD}=3\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=60\mathrm{°}$である．

(1)　対角線$\mathrm{AC}$の長さは$\sqrt{\text{アイ}}$である．

(2)　円$O$の半径は${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ウエ}}}{\text{オ}}}$である．

(3)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{カキ}\sqrt{\text{ク}}}{\text{ケ}}}$である．

【４】　袋$\mathrm{A}$に赤玉$5$個と白玉$4$個，袋$\mathrm{B}$に赤玉$3$個と白玉$4$個が入っている．袋$\mathrm{A}$から取り出した$1$個の玉を，袋$\mathrm{B}$に入れてよくかき混ぜた後，袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出す．

(1)　袋$\mathrm{B}$から赤玉を取り出す確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

(2)　袋$\mathrm{B}$から赤玉を取り出したとき，袋$\mathrm{A}$から取り出した玉が赤玉である確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$ある．

【５】　座標平面において，連立不等式$2x-3y+6\geqq 0\text{，}$$2x-y-2\leqq 0\text{，}$$2x+y-2\geqq 0$の表す領域を$D$とする．

(1)　領域$D$は，$3$点$(\text{ア},0)\text{，}$$(0,\text{イ})\text{，}$$(\text{ウ},\text{エ})$を頂点とする三角形の周および内部である．

(2)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$x-y$の最大値は$\text{オ}\text{，}$最小値は$\text{カキ}$である．

(3)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$x^2+y^2$の最大値は$\text{クケ}\text{，}$最小値は${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$である．

【６】　座標平面において，曲線$C\text{：}y=2x^2-x-1$上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，点$\mathrm{A}$の$x$座標は$-1\text{，}$点$\mathrm{B}$の$x$座標は$3$である．

(1)　直線$\mathrm{AB}$の方程式は$y=\text{ア}x+\text{イ}$である．

(2)　点$\mathrm{A}$における曲線$C$の接線の方程式は$y=\text{ウエ}x-\text{オ}$である．

(3)　曲線$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\text{カキ}}{\text{ク}}}$である．