2023　東邦大学　健康科学部看護学科B日程MathJax

【１】　以下の各式について，指示された値を求めなさい．

(1)　$t=1+\sqrt{3}i$のとき

$t^2+at+b=0$

が成立するならば，実数$a\text{，}$$b$は

$a=\text{ア}\text{イ}\text{，}$$b=\text{ウ}$

である．ただし$i$は虚数単位を表す．

【１】　以下の各式について，指示された値を求めなさい．

(2)　$x$の$3$次式$x^3+\alpha x^2+\beta x+\gamma$が$x^2-1$で割り切れ，$x+2$で割ると余りが$-3$になるとき

$\alpha =\text{エ}\text{，}$$\beta =\text{オ}\text{カ}\text{，}$$\gamma =\text{キ}\text{ク}$

である．

【１】　以下の各式について，指示された値を求めなさい．

(3)　$x+y+z=0\text{，}$$xy+yz+zx=2$であるとき

$x^2+y^2+z^2=\text{ケ}\text{コ}$

$x^4+y^4+z^4=\text{サ}$

となる．

【２】　以下の各方程式について，問いに答えなさい．

(1)　$a\text{，}$$b$を実数とする．

$x$の$2$次方程式$x^2+ax+b=0$

の$2$解が$a\text{，}$$b$であるとき，

$a=\text{ア}$かつ$b=\text{イ}$

または

$a=\text{ウ}$かつ$b=\text{エ}\text{オ}$

となる．

【２】　以下の各方程式について，問いに答えなさい．

(2)　実数係数の$x$の$3$次方程式

$2x^3+s{x}^2+tx-6=0$

の$1$つの解が$1+i$であるとき

$s=\text{カ}\text{キ}\text{，}$$t=\text{ク}\text{ケ}$

である．また，残りの解のうち実数であるものは

$x={\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$

である．

【２】　以下の各方程式について，問いに答えなさい．

(3)　$x\text{，}$$y$の連立方程式

$\{\begin{array}{l}2x+5y=kx\\ 3x+4y=ky\end{array}$

が$x=y=0$以外の解をもつのは

$k=\text{シ}\text{ス}$または$k=\text{セ}$

のときである．ただし，$k$は実数とする．

【３】　次の各問いに答えよ．

(1)　不等式$x^2-4x+k<0$をみたす整数$x$の値が$x=2$のみであるとき，定数$k$は

$\text{ア}\leqq k<\text{イ}$

である．

【３】　次の各問いに答えよ．

(2)　$xy$平面において

直線$(m-1)x+my+1=0$

円$x^2+y^2-6x-4y+12=0$

が接するとき

$m={\displaystyle \frac{\text{ウ}\pm 2\sqrt{\text{エ}}}{\text{オ}\text{カ}}}$

となる．ただし，$m$は実数とする．

【３】　次の各問いに答えよ．

(3)　$xy$平面において，中心が$\mathrm{A}$$(4,3)$で半径が$2$の円$C_1$に原点$\mathrm{O}$から引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．

　$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}$を直径の両端とする円$C_2$を考えると，円周角の性質より$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$もこの円$C_2$の上にある．したがって$C_1$と$C_2$の方程式を用いることにより直線$\mathrm{PQ}$の方程式は

$y=-{\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}x+7$

と求められる．

【４】　以下の各関数について問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=x+|x-1|+2|x-3|$が最小となるのは$\text{ア}\leqq x\leqq \text{イ}$のときである．

【４】　以下の各関数について問いに答えよ．

(2)　$x\text{，}$$y$は

$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$2x+y\leqq 4\text{，}$$3x+4y\leqq 12\text{，}$$2x+3y\leqq 6$

をみたしてくまなく動く．このとき$x+y$は最大値${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$をとる．

【４】　以下の各関数について問いに答えよ．

(3)　正の数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は$x+y+z=4$をみたしている．このとき

${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{y}}+{\displaystyle \frac{9}{z}}$

の最小値は$\text{オ}$である．

【５】　次の各問いに答えよ．

(1)　不等式${\displaystyle \frac{2}{4^x}}-5{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x+2\leqq 0$の解は

$\text{ア}\text{イ}\leqq x\leqq \text{ウ}$

である．

【５】　次の各問いに答えよ．

(2)　$y=2(4^x+4^{-x})-4(2^x+2^{-x})+6$において$t=2^x+2^{-x}$とおくと

$y=\text{エ}{t}^2-\text{オ}t+\text{カ}$

となるので，$y$の最小値は$\text{キ}$であり，このときの$x$の値は$\text{ク}$である．

【５】　次の各問いに答えよ．

(3)　不等式${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)>{\log }_2(x-1)$の解は

$\text{ケ}<x<\sqrt{\text{コ}}$

である．

【６】　$3$次関数$f(x)=x{(x-1)}^2$について考える．

(1)　$f(x)$が極大となる$x$の値を$\alpha \text{，}$極小となる$x$の値を$\beta$として，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}$$(\alpha ,f(\beta ))\text{，}$$\mathrm{B}$$(\beta ,f(\beta ))$を考える．このとき線分$\mathrm{AB}$の中点の座標は$({\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}},{\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}\text{オ}}})$である．

(2)　原点で$y=f(x)$の接線$l$を引く．原点以外で$y=f(x)$と$l$が共有点を持つのは$x=\text{カ}$においてである．

(3)　$y=f(x)$と直線$y=mx$$\text{（}0<m<1\text{）}$とで囲まれた$2$つの部分の面積が等しくなるのは$m={\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$のときである．