2023　東邦大学　理学部C日程MathJax

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$7$で割ると$2$余り，$11$で割ると$5$余る自然数のうち，$2$桁で最大のものは$\text{ア}$である．また，$11$で割ると$3$余り，$17$で割ると$2$余る自然数のうち，$3$桁で最大のものは$\text{イ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　$x+y\leqq 20$を満たす$0$以上の整数の組$(x,y)$の総数は$\text{ウ}$である．また，$x+y+z\leqq 20$を満たす$0$以上の整数の組$(x,y,z)$の総数は$\text{エ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　$a\text{，}$$b$を定数とし，$f(x)=ax+b$とする．次の関係式が成り立つとする．

${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}=0$

${\displaystyle {\int }_0^1}xf(x)\mathit{dx}=1$

このとき，${\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(x)\}}^2\mathit{dx}=\text{オ}$であり，${\displaystyle {\int }_0^1|f(x)|\mathit{dx}=\text{カ}}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　右図のように，四角形$\mathrm{ABCD}$は円$\mathrm{I}$に外接し，円$\mathrm{O}$に内接する．$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=60\mathrm{°}$のとき，$\mathrm{\angle ADC}=\text{キ}\text{，}$$\mathrm{DA}=\text{ク}$である．ただし，$\text{キ}$は度数法で答えよ．

【２】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

　$\mathrm{▵ABC}$は線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$4\text{，}$$3\text{，}$$5$であるとする．線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．また，$\mathrm{▵ABC}$の内部に点$\mathrm{I}$をとったとき，次の関係式を満たすとする．

$\overrightarrow{\mathrm{OI}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{5}{12}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}$

　次の$$に適する解答を解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2=\text{ケ}$および$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{コ}$である．

(ⅱ)　線分$\mathrm{CI}$を延長して線分$\mathrm{AB}$との共有点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\text{サ}$となる．

(ⅲ)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OI}}\right|}^2=\text{シ}$である．

(ⅳ)　点$\mathrm{I}$から線分$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{IQ}$とする．このとき，$\mathrm{IQ}=\text{ス}$である．

(ⅴ)　点$\mathrm{I}$は$\mathrm{▵ABC}$の$\text{セ}$である．下の選択肢からあてはまるものを選び，記号で答えよ．

(a)　内心　　(b)　外心　　(c)　垂心　　(d)　重心

【３】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

　座標平面上の点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$の座標をそれぞれ$\mathrm{O}$$(0,0)$と$\mathrm{A}$$(a,0)$とする．平面上の点$\mathrm{P}$が，$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=m:n$を満たしながら動くとする．ここで$a\text{，}$$m\text{，}$$n$は正の定数である．

(ⅰ)　$m=n$のとき，点$\mathrm{P}$$(x,y)$の軌跡は直線$\text{ソ}$である．

　以下では$m\ne n$とする．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$の軌跡と$x$軸の共有点は$2$つある．線分$\mathrm{OA}$を$m:n$に内分する点$\text{タ}$と，線分$\mathrm{OA}$を$m:n$に外分する点$\text{チ}$である．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$とする．$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=m:n$を満たすことから，${\mathrm{OP}}^2=\text{ツ}{\mathrm{AP}}^2$が得られる．

(ⅳ)　この式を座標を用いて表し，展開して整理すると点$\mathrm{P}$$(x,y)$の軌跡は，中心が点$\text{テ}\text{，}$半径が$\text{ト}$の円となる．