2023　東邦大学　薬学部総合入試MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　複素数$z={\displaystyle \frac{2+3i}{1-i}}$を$2$つの実数$a\text{，}$$b$を用いて$a+bi$の形に表すと$$である．また，$z\bar{z}=$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$0<\theta <2\pi$のとき，不等式$\sin 2\theta <-{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす$\theta$の範囲は$\text{，}$$$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$x<-1$のとき，$\sqrt{x^2+2x+1}$を$x$の整式で表すと$$となる．また，$-2<x<-1$のとき，$\sqrt{x^2+4x+4}-\sqrt{x^2+2x+1}$を$x$の整式で表すと$$となる．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　数列$1\times 2,2\times 3,3\times 4,4\times 5,\cdots$の一般項$a_n$は$$である．また，初項から第$n$項までの和は$$である．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　${\log }_{10}2=p\text{，}$${\log }_{10}3=q$とおくとき，${\log }_{10}12\sqrt{6}=p+q$と表せる．また．${\log }_{\sqrt{6}}18={\displaystyle \frac{\alpha p+\beta q}{p+q}}$と表すとき，$\alpha =\text{，}$$\beta =$である．

【１】　次の問いに答えよ．

(6)　ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,-1,2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(-1,2,1)$に対し，ベクトル$\overrightarrow{c}=(x,y,z)$が$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$のいずれとも垂直になるための条件は，$x=z\text{，}$$y=z$が成り立つことである．したがって，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$のいずれとも垂直な単位ベクトルは，$$または$$である．

【１】　次の問いに答えよ．

(7)　袋$\mathrm{A}$には白玉$3$個と赤玉$7$個，袋$\mathrm{B}$には白玉$3$個と赤玉$4$個が入っている．袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れた後，袋$\mathrm{B}$から玉を$2$個同時に取り出す．このとき，$2$個とも白玉である確率は$$である．また，白玉と赤玉が$1$個ずつである確率は$$である．

【２】　$2$つの曲線$C_1\text{：}y=3x-x^2$と$C_2\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+ax-a$$\text{（}a>0\text{）}$について以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$の点$(1,2)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた接線を$l$とするとき，$l$は$C_2$の接線でもあるという．このときの$a$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$C_2$と$C_1$および$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．