2023　南山大　経済,外国語学部2月9日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　実数$p$に対し，$x$の$2$次方程式$x^2+px-2p^2-6p-4=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとする．このとき，$p\ne \text{ア}$である．また，$|\alpha -\beta |=10$となる$p$の値をすべて求めると，$p=\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　一辺の長さが$4$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BP}=1$となる点$\mathrm{P}$をとる．また，辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AD}=\mathrm{DP}$となる点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AE}=\mathrm{EP}$となる点$\mathrm{E}$をそれぞれとる．このとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めると$\mathrm{AD}=\text{ウ}$であり，$\mathrm{▵DPE}$の面積$S$を求めると$S=\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　実数$x\text{，}$$y$が$3$つの不等式$y\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}x+1\text{，}$$y\leqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3\text{，}$$x\geqq 0$を満たすとき，$-2x+y$の最小値は$\text{オ}$であり，$x^2+y^2$の最大値は$\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　関数$y={\left({\displaystyle \frac{1}{64}}\right)}^x-4{\left({\displaystyle \frac{1}{8}}\right)}^x+8$$(-{\displaystyle \frac{2}{3}}\leqq x\leqq 0)$について，$t={\left({\displaystyle \frac{1}{8}}\right)}^x$とするとき，$y$を$t$の式で表すと$y=\text{キ}$である．また，$y$の最大値を求めると$\text{ク}$である．

【２】　$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}x$とする．$xy$平面上の直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$と曲線$C_1\text{：}y=f(x)$の$3$つの共有点を$\mathrm{P}$$(p,f(p))\text{，}$$\mathrm{Q}$$(q,f(q))\text{，}$$\mathrm{R}$$(r,f(r))$とする．ただし，$p<q<r$とする．

(1)　$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　$f(x)$の極大値と極小値をそれぞれ求めよ．

(3)　$C_1$上の点$\mathrm{T}$$(t,f(t))$において$C_1$に接し，直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$に平行な直線$l$の方程式を求めよ．ただし，$t>0$とする．

(4)　$a\text{，}$$b$を実数とする．ただし，$a<0$である．関数$g(x)=a{x}^3+bx$について，曲線$C_2\text{：}y=g(x)$が$\mathrm{P}$を通り，$C_2$上の点$\mathrm{U}$$(u,g(u))$で(3)の$l$に接するとき，$a\text{，}$$b$および$u$をそれぞれ求めよ．