2023　南山大　理工A2月10日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$x>0$とする．$x-{\displaystyle \frac{1}{x}}=\sqrt{2}$のとき，$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=\text{ア}$であり，$x^4-{\displaystyle \frac{1}{x^4}}=\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{3a_n-4}{a_n-1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$a_n-2=b_n$とおくと，数列$\{b_n\}$は定数$c$に対して$b_{n+1}={\displaystyle \frac{b_n}{b_n+c}}$を満たす．このとき，$c$の値は$c=\text{ウ}$であり，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　関数$y={(e^x-3e^{-x})}^2$$-4(e^x-3e^{-x})+4$を考える．$y$の最小値は$\text{オ}$であり，そのときの$x$の値は$\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$30$個の値からなるデータがあり，そのうちの$10$個の値の平均値は$5\text{，}$分散は$50\text{，}$残りの$20$個の値の平均値は$8\text{，}$分散は$122$であった．このデータの平均値は$\text{キ}$であり，分散は$\text{ク}$である．

【２】　空間に四面体$\mathrm{OABC}$があり，点$\mathrm{M}$は辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．また，$\left|\overrightarrow{a}\right|=1$であり，点$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}}{6}}$を満たす．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{CM}$上にあることを示せ．

(3)　$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{a}$であり，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が定める平面と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が垂直であるとき，$\left|\overrightarrow{b}\right|$と$\left|\overrightarrow{c}\right|$を求めよ．

(4)　(3)のとき$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$を求めよ．

(5)　(3)のとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)={\tan }^{2}x$$-(\sqrt{3}-1)\tan x-\sqrt{3}$

とする．

(1)　$\tan x=t$とおくとき，$f(x)$を$t$の式で表せ．さらにその$t$の式を$g(t)$とするとき，不等式$g(t)\leqq 0$を$t$について解け．

(2)　(1)の$t$について導関数${\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{\mathit{dx}}}$を求めよ．

(3)　$\tan x=t$とおき換えることにより，定積分${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{f(x)}{{\cos }^{2}x}}\mathit{dx}$を計算せよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{|f(x)|}{{\cos }^{2}x}}\mathit{dx}$を計算せよ．

(5)　次の等式を満たす関数$h(x)$がある．

$h(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{{\cos }^{2}x}}+{\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}}h(x)\tan x\mathit{dx}$

このとき，定積分${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}}h(x)\tan x\mathit{dx}$の値を求めよ．