2023　南山大　経営,外国語学部2月11日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円$C$と，直線$l\text{：}y+2x-k=0$（ただし，$k$は実数）がある．$C$と$l$が異なる$2$点で交わるとき，$k$のとりうる値の範囲は$\text{ア}$である．$k=\sqrt{3}$のとき，$C$と$l$の$2$つの交点と$\mathrm{O}$を頂点とする三角形の面積$S$を求めると，$S=\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．関数$y=5\sin \theta \cos \theta$が$\theta =\alpha$で最大値をとるとき，$\sin \theta =\text{ウ}$であり，また，関数$y=\sin \theta +5\cos \theta$が$\theta =\beta$で最大値をとるとき，$\sin \beta =\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$t>0$のとき，$t+{\displaystyle \frac{1}{t}}$が最小値をとるときの$t$の値は$t=\text{オ}$である．また，$s>0$のとき，$s+{\displaystyle \frac{1}{s}}+{\displaystyle \frac{25}{4s+{\displaystyle \frac{4}{s}}}}$が最小値をとるときの$s$の値は$s=\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$5^{73}$は$\text{キ}$桁の整数である．正の整数$a$に対して，${27}^a$が$16$桁の整数であるとき，$a=\text{ク}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　$xy$平面上に放物線$C\text{：}y=-x^2+1$と，点$\mathrm{A}$$(2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,0)$がある．

(1)　$\mathrm{A}$を通る傾き$k$の直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　(1)の$l$が，$y>0$の領域において$C$と接するとき，その接点の$x$座標$\alpha$の値を求めよ．

(3)　$C$上に点$\mathrm{P}$$(t,-t^2+1)$をとる（ただし，(2)の$\alpha$に対して$\alpha \leqq t<1$とする）．$\mathrm{▵BAP}$の面積を$S_1\text{，}$$C$と線分$\mathrm{BP}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1\text{，}$$S_2$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(4)　(3)のとき，$9S_1-8S_2$が最大値をとるときの$t$の値を求めよ．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　平面上に$\mathrm{▵ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，等式$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+9\overrightarrow{\mathrm{BP}}+6\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$として，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$で表すと$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\text{オ}$である．いま，$2$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AR}}={\displaystyle \frac{3}{4}}t\overrightarrow{c}$を満たすようにとる（ただし，$t$は$0$でない実数）．直線$\mathrm{QR}$が$\mathrm{P}$を通るときの$t$の値を求めると，$t=\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{AC}=\sqrt{39}$であり，また$\mathrm{AD}<\mathrm{DC}$である．このとき$\sin \mathrm{\angle ABC}=\text{キ}$である．さらに$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S_1\text{，}$$\mathrm{▵ACD}$の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=7:2$であるとき，$\mathrm{AD}=\text{ク}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(5)　白玉が$6$個と，赤玉，青玉，黒玉がそれぞれ$1$個ずつある．これらの玉すべてを，卓上に円形に並べる並べ方は全部で$\text{ケ}$通りある．そのうち，白玉以外の玉について，どの玉の両隣も白玉である並べ方は全部で$\text{コ}$通りある．

【３】　$2$つの等差数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$と$\{b_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$がある．$\{a_n\}$は$a_4+a_5+a_6=-3$を満たし，$\{b_n\}$の一般項は$b_n={\displaystyle \frac{2}{3}}n+6$である．

(1)　$a_5$の値を求めよ．

(2)　$\{a_n\}$の公差が正で，$a_4{a}_5{a}_6=8$のとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　(2)のとき，$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n\text{，}$$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$T_n$とする．このとき，$S_n-T_n$（ただし，$1\leqq n\leqq 15\text{）}$の最小値と最大値を求めよ．

(4)　(2)のとき，$\{a_n\}$と$\{b_n\}$に共通して現れる数を小さい順に並べてできる数列$\{c_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$の一般項を求めよ．