2023　南山大　法,国際教養2月12日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とする．このとき$a^2+b^2$の値を求めると$a^2+b^2=\text{ア}$であり，$a^4-b^4$の値を求めると$a^4-b^4=\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を実数とし，$i$を虚数単位とする．方程式$x^2+ax+b=0$が$x=-1+i$を解にもつとき，$a\text{，}$$b$の値を求めると$(a,b)=\text{ウ}$である．また，方程式$x^3+c{x}^2+dx+2=0$が$x=-1+i$を解にもつとき，$c\text{，}$$d$の値を求めると$(c,d)=\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$k$を定数とし，直線$l\text{：}2(k+1)x$$+(k-1)y$$-4(k+1)=0$を考える．$k$がどのような値をとっても$l$が通る点の座標を求めると$\text{オ}$である．また，$l$が円$x^2+y^2=2$と接するとき，$k$の値を求めると$k=\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　$a$を正の実数とし，$x$の関数$y=a{\sin }^{2}x$$-4{\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}$$\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$を考える．$\cos x=t$として$y$を$t$の$2$次式で表すと$y=\text{キ}$であり，$y$の最大値が$3$であるとき，$a$の値を求めると$a=\text{ク}$である．

【２】　関数$f(x)=-x^2+2x$と曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．また，$a$を実数とし，曲線$y=x^2$を$x$軸方向に$a$だけ平行移動した曲線$D$は，異なる$2$点で$C$と交わるとする．$D$の方程式を$y=g(x)$とおく．

(1)　$g(x)$を$x$と$a$の式で表せ．

(2)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$C$と$D$で囲まれた図形の面積$S$を$a$で表せ．

(4)　(3)の$S$が最大となる$a$の値と$S$の最大値を求めよ．