2023　立命館大　全学統一文系2月2日実施MathJax

【１】

〔1〕　$3$次方程式$2x^3+2x^2+5x+7=0$の$3$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$とするとき，$\alpha +\beta +\gamma =\text{ア}\text{，}$$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\text{イ}\text{，}$$\alpha \beta \gamma =\text{ウ}$である．

　このとき，次の式の値を求めよ．

(1)　${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=\text{エ}$

(2)　$(\alpha -1)(\beta -1)(\gamma -1)=\text{オ}$

(3)　$(\alpha +\beta )(\beta +\gamma )(\gamma +\alpha )({\displaystyle \frac{1}{\alpha \beta }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta \gamma }}+{\displaystyle \frac{1}{\gamma \alpha }})=\text{カ}$

(4)　${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3=\text{キ}$

【１】

〔2〕放物線$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+3x-1$$\cdots \text{①}$がある．

(1)　放物線$\text{①}$の接線の傾きが$1$となるような接点$\mathrm{A}$の座標は，$(\text{ク},\text{ケ})$であり，その接線の方程式は，

$y=\text{コ}$$\cdots \text{②}$

である．また，接線$\text{②}$に垂直で点$\mathrm{A}$を通る直線の方程式は，

$y=\text{サ}$$\cdots \text{③}$

である．

(2)　直線$\text{③}$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とするとき，点$\mathrm{B}$を中心とする円と放物線$\text{①}$が，ただ$1$つの共有点をもつとき，この円の方程式は，

$x^2+{(y-\text{シ})}^2=\text{ス}$

である．

(3)　連立不等式$y\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+3x-1\text{，}$$x^2+{(y-\text{シ})}^2\geqq \text{ス}\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\leqq \text{ケ}$の表す領域の面積は$\text{セ}$である．

【１】

〔3〕$\mathrm{▵OAB}$において，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=3\text{，}$$|2\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{19}$のとき，$\cos \mathrm{\angle AOB}$の値は$\text{ソ}\text{，}$$\mathrm{▵OAB}$の面積は$\text{タ}$である．

　次に，ベクトル方程式$(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})=0$を満たす点$\mathrm{P}$の描く図形は円であり，その中心を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\text{チ}$であり，この円の半径の値は$\text{ツ}$である．

　また，この円と辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，$\mathrm{▵AOD}$の面積は$\text{テ}$である．

【２】　次のような赤い色と青い色の正二十面体のサイコロがある．

　赤い色のサイコロ（以下，赤と呼ぶ）の面には，数字の$80$が書かれた面が$12$面，数字の$160$が書かれた面が$8$面ある．青い色のサイコロ（以下，青と呼ぶ）の面には，数字の$90$が書かれた面が$16$面，数字の$200$が書かれた面が$4$面ある．

　どちらのサイコロについても，どの面が出るかについては同様に確からしいとする．以下，「面が出る」ことを「数字が出る」と表すことにする．例えば，$\text{「}80$が書かれた面が出る」ことを$\text{「}80$が出る」と表す．

〔1〕　赤を$1$回投げたとき，$80$が出る確率は$\text{ア}\text{，}$$160$が出る確率は$\text{イ}$である．また，青を$1$回投げたとき，$90$が出る確率は$\text{ウ}\text{，}$$200$が出る確率は$\text{エ}$である．

　ここで，次のようなルールのゲームを考える．

$\text{①}$参加者は$100$ポイント（以下，ポイントを$\mathrm{pt}$と表す）をゲーム管理人に渡す．

$\text{②}$参加者は$100\mathrm{pt}$渡したときに，赤か青のどちらかを選択する．

$\text{③}$参加者が$100$人になった時点でゲーム管理人は赤と青の$2$つのサイコロを同時に投げる．

$\text{④}$参加者は自分が選択したサイコロの出た数字と同じ$\mathrm{pt}$をもらう．

　このゲームの参加者は，自分が選択した色のサイコロの出た数字が，選択しなかったサイコロの数字よりも小さいとき，自分の選択を後悔する．例えば，ある参加者が赤を選択したとき，赤の出た数字が$80\text{，}$青の出た数字が$200$であったとする．赤を選択した参加者は$80\mathrm{pt}$をもらえるが，青を選択していれば$200\mathrm{pt}$をもらえたのにと，自分の選択を後悔する．

　赤，青$2$つの場合，参加者が赤を選択したことで後悔する確率は$\text{オ}\text{，}$青を選択したことで後悔する確率は$\text{カ}$になる．

　次に，選択の好ましさの度合いを「効用」と呼び，それを数値で表す．効用の値が大きい方が好ましいと考える．

　赤を選択した効用を$V_{\mathrm{R}}\text{，}$青を選択した効用を$V_{\mathrm{B}}$で表すと，$V_{\mathrm{R}}\text{，}$$V_{\mathrm{B}}$は次の式で与えられ，

$V_{\mathrm{R}}=80\times \text{ア}+160\times \text{イ}$$-100\times \text{オ}$$=\text{キ}$

$V_{\mathrm{B}}=90\times \text{ウ}+200\times \text{エ}$$-100\times \text{カ}$$=\text{ク}$

となる．このことより，効用が大きいのは，$\text{ケ}$を選択したときである．ただし，$\text{ケ}$には，赤，青のいずれかを答えること．

〔2〕　新たに白い色の正二十面体のサイコロを追加しゲームを続けることにした．白い色のサイコロ（以下，白と呼ぶ）の面には，数字の$95$が書かれた面が$18$面，数字の$205$と書かれた面が$2$面ある．この白についても，どの面が出るかについては同様に確からしいとする．

　この白を$1$回投げたとき，$95$が出る確率は$\text{コ}\text{，}205$が出る確率は$\text{サ}$である．

　ここで，ゲーム管理人は，白を追加したことによりゲームのルールの$\text{①}$と$\text{④}$は変更せず，$\text{②}$と$\text{③}$については，次のように変更した．

$\text{❷}$参加者は$100\mathrm{pt}$渡したときに，赤か青か白のいずれか$1$つを選択する．

$\text{❸}$参加者が$100$人になった時点でゲームの管理人が赤，青，白の$3$つのサイコロを同時に投げる．

　〔1〕の場合と同様に，このゲームの参加者は自分が選択したサイコロの出た数字が，選択しなかったサイコロの数字よりも小さいとき，自分の選択を後悔する．例えば，ある参加者が赤を選択したとき，赤の出た数字が$160\text{，}$青の出た数字が$90\text{，}$白の出た数字が$205$であったとすると，赤を選択した参加者は$160\mathrm{pt}$をもらえるが，白を選択していれば$205\mathrm{pt}$をもらえたのにと，自分の選択を後悔する．

　赤，青，白$3$つの場合，参加者が赤を選択したことで後悔する確率は$\text{シ}\text{，}$青を選択したことで後悔する確率は$\text{ス}\text{，}$白を選択したことで後悔する確率は$\text{セ}$である．

　ここで，赤を選択した効用を$V_{\mathrm{R}}^{\prime }\text{，}$青を選択した効用を$V_{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$白を選択した効用を$V_{\mathrm{W}}^{\prime }$で表すと，$V_{\mathrm{R}}^{\prime }\text{，}$$V_{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$$V_{\mathrm{W}}^{\prime }$は次の式で与えられ，

$V_{\mathrm{R}}^{\prime }=80\times \text{ア}+160\times \text{イ}$$-100\times \text{シ}$$=\text{ソ}$

$V_{\mathrm{B}}^{\prime }=90\times \text{ウ}+200\times \text{エ}$$-100\times \text{ス}$$=\text{タ}$

$V_{\mathrm{W}}^{\prime }=95\times \text{コ}+205\times \text{サ}$$-100\times \text{セ}$$=\text{チ}$

となる．このことより，効用が大きいのは，$\text{ツ}$を選択したときである．ただし，$\text{ツ}$には，赤，青，白のいずれか$1$つを答えること．

〔3〕　最後に白を追加したことによる参加者の後悔する確率の変化は次のようになる．ただし，$\text{テ}\text{，}$$\text{ト}$は下の選択肢から適切なものを$1$つ選び，番号で答えること．なお，同じ選択肢を複数回使ってもよい．

　赤を選択した参加者が後悔する確率は，$\text{オ}$から$\text{シ}$に$\text{テ}\text{．}$

　青を選択した参加者が後悔する確率は，$\text{カ}$から$\text{ス}$に$\text{ト}\text{．}$

【選択肢】$\text{(1) 変化しない }$$\text{(2) 高く（大きく）なる }$$\text{(3) 低く（小さく）なる}$

　次に，効用への影響については次のようになる．

$V_{\mathrm{R}}$と$V_{\mathrm{R}}^{\prime }$の大小関係は，$V_{\mathrm{R}}\text{ナ}{V}_{\mathrm{R}}^{\prime }$である．

$V_{\mathrm{B}}$と$V_{\mathrm{B}}^{\prime }$の大小関係は，$V_{\mathrm{B}}\text{ニ}{V}_{\mathrm{B}}^{\prime }$である．

ただし，$\text{ナ}\text{，}$$\text{ニ}$には記号$=\text{，}$$<\text{，}$$>$のうちで適切なものを$1$つ選び答えること．なお，同じ記号を複数回使ってもよい．

【３】　実数$a$を定数とする．$x$の方程式$4^x-(a-6)2^{x+1}+17-a=0$$\cdots \text{①}$がある．次の問いに答えよ．

〔1〕　$a=9$のとき，方程式$\text{①}$の$2$つの解を求めよ．

〔2〕(1)　方程式$\text{①}$が$x=0$を解にもつとき，$a$の値を求めよ．

(2)　$a$を(1)で求めた値とするとき，他の解を求めよ．

〔3〕　方程式$\text{①}$が実数解をもたないとき，$a$の値の範囲を求めよ．

〔4〕　方程式$\text{①}$の異なる$2$つの解の和が$0$であるとき，$a$の値を求めよ．また，そのとき$2$つの解を求めよ．