2023　立命館大　全学統一理系2月2日実施MathJax

〔1〕$2$次関数

$f(x)=x^2$$-(\sin \theta +\cos \theta )x$$+\sin \theta \cos \theta$

を考える．$2$次方程式$f(x)=0$の解を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha \leqq \beta \text{）}$とすると，$\alpha =\text{ア}\text{，}$$\beta =\text{イ}$である．

　この$f(x)$は$x=\text{ウ}$において最小値$\text{エ}$をとる．さらに$\theta$が${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{5}{4}}\pi$の範囲で変化するとき，$\text{エ}$は$\theta =\text{オ}$において最小値$\text{カ}$をとる．

　また，$x$軸と$y=f(x)$のグラフで囲まれた図形の面積$S$を$\theta$を用いて表すと$S=\text{キ}$となる．

〔2〕次に$3$次関数

$g(x)=x^3-2(\sin \theta +\cos \theta )x^2$$+(1+3\sin \theta \cos \theta )x$$-\sin \theta \cos \theta (\sin \theta +\cos \theta )$

を考える．$\gamma =\text{ク}$とおくと，〔1〕の$f(x)$を用いて

$g(x)=f(x)(x-\gamma )$

が成り立つ．〔1〕の$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて

$g(x)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$

と$x$に関する$1$次式の積に因数分解できるので，$3$次方程式$g(x)=0$は解$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$をもつ．

　$\gamma \leqq \alpha \leqq \beta$となるのは，

$\text{ケ}\leqq \theta \leqq \text{コ}$

のときである．$\alpha \leqq \beta \leqq \gamma$となるのは，

$\text{サ}\leqq \theta \leqq \text{シ}$

のときである．そして$\alpha \leqq \gamma \leqq \beta$となるのは，

$\text{ス}\leqq \theta \leqq \text{セ}$

のときである．

　点$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$に関して点$\mathrm{H}$と対称な点を$\mathrm{K}$とするとき，点$\mathrm{K}$の座標は$(\text{カ},\text{キ},\text{ク})$である．また，平面$z={\displaystyle \frac{1}{2}}$に関して点$\mathrm{K}$と対称な点を$\mathrm{L}$とすると，点$\mathrm{L}$の座標は$(\text{ケ},\text{コ},\text{サ})$である．

　次に点$\mathrm{C}$$(0,1,0)$をとると，三角形$\mathrm{CKL}$の面積は$\text{シ}$である．また，平面$\mathrm{CKL}$に垂直なベクトルの$1$つに$(1,\text{ス},\text{セ})$がある．点$\mathrm{B}$から平面$\mathrm{CKL}$までの距離は$\text{ソ}$であり，四面体$\mathrm{BCKL}$の体積は$\text{タ}$である．

〔2〕媒介変数$\theta$を用いて定義される曲線

$C\text{：}\{\begin{array}{l}x={\cos }^4\theta \\ y={\sin }^4\theta \end{array}$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

を考える．曲線$C$上の点で最も原点に近い点の座標は$(\text{ウ},\text{エ})$である．次に，曲線$C$の長さ$L$を求める．${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}$を$\cos \theta \text{，}$$\sin \theta$を用いて表すと

${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}=\text{オ}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}=\text{カ}$

であるから，$L$は

$L=4{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\cos \theta \sin \theta \sqrt{{\cos }^4\theta +{\sin }^4\theta }\mathit{d\theta }$

である．$s={\sin }^2\theta$とおいて置換積分法を用いると

$L=2{\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{\text{キ}}\mathit{ds}$

となる．さらに〔1〕を利用して

$L=\text{ク}$

が得られる．

$2,1$$1,2$$1,1,1$

の$3$つの並べ方があるので，$F_2(3)=3$である．

〔1〕引き続き$k=2$の場合を考える．$n=4$のときには

$2,2$$2,1,1$$1,2,1$$\text{ア}$$\text{イ}$

の$5$つの並べ方があるので，$F_2(4)=5$である．また，$n=5$のときには

$2,1,2$$1,2,2$$1,1,1,2$$2,2,1$$2,1,1,1$$1,2,1,1$$\text{ア},1$$\text{イ},1$

の$8$つの並べ方があるので，$F_2(5)=8$である．さらに，$F_2(7)=\text{ウ}$である．

〔2〕$k=3$の場合を考えると，$F_3(5)=\text{エ}\text{，}$$F_3(6)=\text{オ}\text{，}$$F_3(10)=274\text{，}$$F_3(11)=504\text{，}$$F_3(12)=927\text{，}$$F_3(13)=\text{カ}$である．

〔3〕$k=2$の場合に次の関係式

$\{\begin{array}{l}{F}_2(n+2)-\text{キ}{F}_2(n+1)\\ =\text{ク}\{F_2(n+1)-\text{キ}{F}_2(n)\}\\ F_2(n+2)-\text{ク}{F}_2(n+1)\\ =\text{キ}\{F_2(n+1)-\text{ク}{F}_2(n)\}\end{array}$

が成り立つ．（ただし$\text{キ}>\text{ク}$とする．）

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{F_2(n+1)}{F_2(n)}}=\text{ケ}$

である．

〔4〕$F_n(n)=\text{コ}$である．