2023　立命館大　全学統一文系2月3日実施MathJax

【１】

〔1〕　自然数$N$$\text{（}N\geqq 10\text{）}$が$17$の倍数であることを判定する$1$つの方法として，次の命題がある．

命題「自然数$N$の一の位を除いた数から一の位の数の$5$倍を引いた数が$17$の倍数であれば，$N$は$17$の倍数である」

　例えば，$2023$の場合，一の位を除いた数は$202$で，一の位の数$3$の$5$倍は$15$である．したがって，$202-15=187=11\times 17$より$17$の倍数となり，$2023=7\times 17\times 17$も$17$の倍数であることが分かる．

　この命題が成り立つことを示す．$N$は，自然数$a$と整数$b$$\text{（}0\leqq b\leqq 9\text{）}$を用いて，$N=10a+b$と表される．このとき，「一の位を除いた数から一の位の数の$5$倍を引いた数」は，$\text{ア}$と表される．

　$\text{ア}$が$17$の倍数であれば整数$k$を用いて$\text{ア}=17k$とおけるので，$N$は$a$を消去することにより$N=17(\text{イ})$となる．したがって，$\text{イ}$は整数であることより，命題は成立する．なお，この命題の逆，すなわち，「自然数$N$が$17$の倍数ならば，$N$の一の位を除いた数から一の位の数の$5$倍を引いた数は$17$の倍数となる」も成立する．

　次に，$1$次不定方程式$7x+17y=1$の整数解の組$(x,y)$を考える．この整数解の組のうち，$x$の値が最も小さい自然数であるのは$(\text{ウ},\text{エ})$である．また，この$1$次不定方程式を満たす整数解の組$(x,y)$のうち，和$x+y$が$17$の倍数で最も小さい自然数は$x+y=\text{オ}$である．そのときの整数解の組は$(x,y)=(\text{カ},\text{キ})$である．

【１】

〔2〕　図のような東西$4$本，南北$4$本の道がある．道は点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{P}$までの各点で区切られた$24$の区間に分けられ，その長さはそれぞれ等しい．点$\mathrm{O}$を出発し，次の点に到達したとき，直前に進んで来た区間を戻らずに次の区間に同じ確率で進むものとする．例えば，点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$に進む確率と点$\mathrm{B}$に進む確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$であり，仮に点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$に到達したとき，点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$に進む確率もそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．また，仮に点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{D}$に到達したとき，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{G}$と点$\mathrm{H}$に進む確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．なお，直前に進んだ区間を戻らなければ，同じ区間を通ることも可能とする．

(1)　点$\mathrm{O}$から出発し点$\mathrm{P}$に到達したとき，通過する区間の最少の数は$\text{ク}$である．

(2)　点$\mathrm{O}$から順に点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{N}$を通って点$\mathrm{P}$に到達する確率は$\text{ケ}$である．

(3)　点$\mathrm{O}$から$\text{ク}$区間進んだときに，点$\mathrm{O}$にいる確率は$\text{コ}$である．

　次に，点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{G}$の区間が通行止めになった場合を考える．

(4)　点$\mathrm{O}$から$\text{ク}$区間進んだときに，点$\mathrm{O}$にいる確率は$\text{サ}$である．

(5)　点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{K}$を通って点$\mathrm{P}$に区間の数$\text{ク}$で到達する確率は$\text{シ}$である．

【１】

〔3〕すべての項が実数である数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$があり，$a_1=3\text{，}$$b_1=0$とする．ここで，数列$\{a_n\}$の$a_n\text{，}$$a_{n+1}$と，数列$\{b_n\}$の$b_n\text{，}$$b_{n+1}$の間に，等式

$a_{n+1}+b_{n+1}i={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i(a_n-b_{n}i)+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$$\cdots \text{①}$

が成立している．ただし，$i$は虚数単位である．このとき，

$a_2=\text{ス}\text{，}$$b_2=\text{セ}\text{，}$

である．

　次に，$\text{①}$より，$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$を$b_n\text{，}$$a_n$を用いて表すと，

$a_{n+1}=\text{ソ}{b}_n+\text{タ}$$\cdots \text{②}$

$b_{n+1}=\text{チ}{a}_n$$\cdots \text{③}$

である．$\text{②}\text{，}$$\text{③}$より

$a_{n+2}=\text{ツ}{a}_n+\text{テ}$

となる．よって，$a_{2n+1}$を$a_{2n-1}$を用いて表すと，

$a_{2n+1}=\text{ト}{a}_{2n-1}+\text{ナ}$$\cdots \text{④}$

となる．同様に，$a_{2n+2}$を$a_{2n}$を用いて表すと，

$a_{2n+2}=\text{ニ}{a}_{2n}+\text{ヌ}$$\cdots \text{⑤}$

となる．漸化式$\text{④}\text{，}$$\text{⑤}$より，$a_{2n}\text{，}$$a_{2n+1}$をそれぞれ$n$の式で表すと，

$a_{2n}=\text{ネ}\text{，}$$a_{2n+1}=\text{ノ}$

である．このことから，$a_{2n+1}-a_{2n}>{\displaystyle \frac{1}{100}}$を満たす最大の$n$は，$n=\text{ハ}$である．

【２】　下の表は，$10$人の社会人の$1$か月の収入と支出の金額（単位は万円）をまとめたものである．収入の金額を変量$x\text{，}$支出の金額を変量$y$で表し，それぞれの平均，分散が示されている．表の数値は$x$の小さいものから順に並んでいる．表中の$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$y_1$については，数値が表示されていない．また，$x$の四分位偏差は$6$である．

　なお，必要な場合は，$\sqrt{56.2}=7.50\text{，}$$\sqrt{19.2}=4.38$として計算せよ．

〔1〕$x_1=\text{ア}\text{，}$$x_2=\text{イ}$である．また，$y_1=\text{ウ}$である．

〔2〕$x$と$y$の共分散は$\text{エ}$である．

〔3〕$x$と$y$の相関係数を$r$とする．$r$の存在する範囲として正しいのは$\text{オ}$である．ただし，$\text{オ}$は下記の選択肢の中から適切なものを$1$つ選び，番号で答えよ．

【選択肢】$\text{① }r\leqq -0.9$$\text{② }-0.9<r\leqq -0.8$$\text{③ }-0.8<r\leqq -0.7$$\text{④ }0.7\leqq r<0.8$$\text{⑤ }0.8\leqq r<0.9$ $\text{⑥ }0.9\leqq r$

〔4〕$10$人全員に$1$ヶ月$5$万円の給付金が支給されることになった．給付金支給後の収入を変量$v$とすると，$v$の平均は$\text{カ}\text{，}$分散は$\text{キ}$である．

〔5〕給付金支給後の収入$v$を$1$ドル$=100$円で換算した金額を変量$w$とすると，$w$の平均は$\text{ク}$ドル，標準偏差は$\text{ケ}$ドルである．

〔6〕全員が支出後に残ったお金を全額貯蓄する場合を考える．貯蓄する金額（万円）を変量$z$で表すと，$z=x-y$となる．$z$の分散$s_z^2$は，$x$と$y$の分散$s_x^2\text{，}$$s_y^2\text{，}$$x$と$y$の共分散$s_{xy}$を用いて表すと，

$s_z^2=\text{コ}{s}_x^2-\text{サ}{s}_{xy}+\text{シ}{s}_y^2$

となる．したがって，$s_z^2$の値を求めると，$s_z^2=\text{ス}$である．

【３】　$a>0\text{，}$$b>1$とする．放物線$C\text{：}y=a{x}^2-(b-1)x$と，直線$l\text{：}y=x-4$が接している．このとき，次の問いに答えよ．

〔1〕$a$を$b$を用いて表せ．また，接点の座標を$b$を用いて表せ．

〔2〕放物線$C$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$b$を用いて表せ．

〔3〕$S$の最大値とそのときの$a\text{，}$$b$の値を求めよ．