2023　立命館大　全学統一理系2月3日実施MathJax

【１】　実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は$a<0\text{，}$$b>0$を満たすとし，

$f(x)=e^{a{x}^2+bx+c}$

とする．

〔1〕　関数$y=f(x)$のグラフについて考える．

　$f(x)$の第$1$次導関数は

$f^{\prime }(x)=\text{ア}{e}^{a{x}^2+bx+c}$

となり，第$2$次導関数は

$f^{″}(x)=\text{イ}{e}^{a{x}^2+bx+c}$

となる．ここで$e^{a{x}^2+bx+c}>0$より，$f^{\prime }(x)=0$の解は

$x=\text{ウ}$

となる．また，$f^{″}(x)=0$の解は

$x=\text{エ}$

となる．

　以上より，関数$y=f(x)$のグラフの概形は$\text{オ}$のようになる．

（注：$\text{オ}$は下の$\text{①}\text{〜}$$\text{⑫}$から$1$つ選べ．）

〔2〕実数$d$について

$g(x)=f(x)-d$

とする．関数$y=g(x)$のグラフは$d$が条件$\text{カ}$を満たすとき$x$軸と共有点をもつ．特に，$d$が条件$\text{キ}$を満たすとき$y=g(x)$のグラフと$x$軸との共有点の数は$1$個である．また，$\text{カ}$が成り立ち$\text{キ}$が成り立たないとき$y=g(x)$のグラフと$x$軸との共有点の数は$\text{ク}$個である．

【２】　$p$を素数とする．自然数$n$を$0$以上の整数$l$を用いて

$n=p^{l}q$$\text{（}q$は$p$と互いに素な自然数）

と表せるとき，$n$の中に素因数$p$が$l$回現れるということにする．

〔1〕$3$次関数

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

を考える．ただし，整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は$0<a<p\text{，}$$0\leqq b<p\text{，}$$0\leqq c<p\text{，}$$0\leqq d<p$を満たすとする．

　自然数$f(p)$の階乗$f(p)!$の中に素因数$p$が現れる回数$l$の値を求めることを考える．

　$f(p)$を$p$で割った余りは$\text{ア}$であるので，$f(p)$以下でありかつ$p$で割り切れる自然数のうち最大の自然数は$f(p)-\text{ア}$である．

${\displaystyle \frac{f(p)!}{(f(p)-d)!}}$

の中に素因数$p$は$\text{イ}$回現れる．

　次に，$(f(p)-d)!$の計算で現れる$(f(p)-d)$以下の自然数

$f(p)-d\text{，}$$f(p)-d-1\text{，}$$f(p)-d-2\text{，}\cdots \text{，}$$2\text{，}1$

の中には$p$で割り切れるものが$\text{ウ}$個，$p^2$で割り切れるものが$\text{エ}$個，$p^3$で割り切れるものが$\text{オ}$個ある．

　以上のことから，$l=\text{カ}$とわかる．

〔2〕$r<p^4$を満たす自然数$r$を考え，$r$を$p^i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で割った商を$Q_i$とする．すべての$r$で$Q_i=0$となる最小の自然数$i$は$\text{キ}$である．$r!$の中に素因数$p$が現れる回数は$Q_i$$\text{（}i=1\text{，}\cdots \text{，}$$\text{キ}-1\text{）}$を用いて$\text{ク}$回と表せる．

〔3〕$r$を三進法で${21122}_{(3)}$と表される自然数とする．$r$を$3$で割った商は$\text{ケ}$であり，$r!$の中に素因数$3$が$\text{コ}$回現れる．

（注：$\text{ケ}$は三進法，$\text{コ}$は十進法で答えよ．）

【３】　$a$を実数とする．関数$f(x)$を$f(x)=x^2-2ax+2a^2$とし，放物線$y=f(x)$を$C$とする．$f(x)$は$x=\text{ア}$において最小値$\text{イ}$をとる．放物線$C$が点$(2,4)$を通るのは，$a=\text{ウ}$のときである．また，$a$が実数全体を動くときに平面上で放物線$C$が通過する領域は不等式$y\geqq \text{エ}$で表される．

　$b$を実数とする．直線$x=b$と放物線$C$のただ$1$つの共有点の$y$座標を$a$の関数とみなし，$g(a)$とおく．$a$が実数全体を動くときの$g(a)$の最小値は$\text{オ}$である．

　$a$が$-1\leqq a\leqq 1$の範囲を動くときに平面上で放物線$C$が通過する領域について考える．$b\geqq 0$のときは，以下の$2$つの場合が考えられる．

•$0\leqq b\leqq \text{カ}$の場合，$-1\leqq a\leqq 1$における$g(a)$の最小値は$\text{オ}\text{，}$最大値は$\text{キ}$である．

・$\text{カ}<b$の場合，$-1\leqq a\leqq 1$における$g(a)$の最小値は$\text{ク}\text{，}$最大値は$\text{ケ}$である．

$b<0$のときも同様に考えると，$a$が$-1\leqq a\leqq 1$の範囲を動くときに平面上で放物線$C$が通過する領域と不等式$-3\leqq x\leqq 3$の表す領域との共通部分の面積は$\text{コ}$となる．

【４】　$\theta$を$0<\theta <\pi$を満たす実数とする．

〔1〕$\theta$が$\cos 3\theta =\cos 2\theta$を満たすとき，$\theta =\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$である．ここで，$\text{ア}<\text{イ}$である．一方，$\cos 3\theta -\cos 2\theta$を$\cos \theta$の整式で表すことにより，$\cos \text{ア}\text{，}$$\cos \text{イ}$を解にもつ$x$に関する$2$次方程式が$\text{ウ}=0$であることがわかる．ここで，$\text{ウ}$は$x$について整理された最も次数が高い項の係数が$1$である多項式である．（注：$\text{ウ}$は三角関数を用いずに答えること．）

〔2〕$n$を自然数とする．等式$\cos (n+1)=\cos n\theta$を満たす$\theta$は全部で$\text{エ}$個ある．その中で最も小さなものは$\text{オ}\text{，}$最も大きなものは$\text{カ}$である．

〔3〕実数$\alpha$に対して等式$\cos \alpha +\cos (\pi -\alpha )=\text{キ}$が成り立つことを用いると，$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{7}}\text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{7}}\text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{7}}$を解にもつ$x$に関する$3$次方程式は$\text{ク}=0$である．ここで，$\text{ク}$は$x$について整理された最も次数が高い項の係数が$1$である多項式である．また，$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{7}}+\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{7}}+\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{7}}=\text{ケ}$である．（注：$\text{ク}\text{，}$$\text{ケ}$は三角関数を用いずに答えること．）