2023　関西大　全学日程文系2月1日実施MathJax

　関数

$f(\theta )={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}}{\sin }^2\theta$$-\sin \theta \cos \theta$$+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}}{\cos }^2\theta$

を考える．${\sin }^2\theta$を$\cos 2\theta$を用いて表すと，$\text{①}$になる．したがって，$f(\theta )$を

$a\sin 2\theta +b\cos 2\theta +c$

という形に変形すると，$a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$b=\text{②}\text{，}$$c=\text{③}$となる．よって，

$f(\theta )=\cos (2\theta +\text{④})+\text{③}$$\text{（}0\leqq \text{④}<2\pi \text{）}$

が成立する．

　$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で，$f(\theta )$の最小値と最大値は，それぞれ$\text{⑤}\text{，}$$\text{⑥}$である．また，$f(\theta )=0$を満たす$\theta$の値は$\text{⑦}$である．

${\omega }^2=p+q\omega$

を満たす実数$p\text{，}$$q$の値は，$p=\text{①}\text{，}$$q=\text{②}$である．

　正の整数$n$に対して，実数$a_n\text{，}$$b_n$を

${(1+2\omega )}^n=a_n+b_n\omega$$\cdots \text{(＊)}$

で定める．$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$の式で表すと

$a_{n+1}=\text{③}\text{，}$$b_{n+1}=\text{④}$

となる．(＊)で定めた$a_n\text{，}$$b_n$に対して

$c_n=a_n^2+b_n^2-a_n{b}_n$

とおく．このとき，$c_1=\text{⑤}$で，$c_n$は$n$の式で$\text{⑥}$と表せる．

(1)　不等式

$y^2+xy+y-2x^2-x<0$

の表す領域を解答欄の座標平面に図示せよ．

(2)　$r$を正の定数とする．次で定められる円

$x^2-2x+y^2+y+{\displaystyle \frac{5}{4}}-r^2=0$

の内部が(1)で求めた領域に含まれるとき，$r$のとりうる値の範囲を求めよ．