2023　関西大　全学日程理系2月2日実施MathJax

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$F(x)$を求めよ．さらに．$F(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値を求めよ．ただし，最大値を与える$x$の値は求めなくてよい．

(3)　$f(x)$が最大となる$x$の値を$\alpha$とする．このとき，極限

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\alpha }{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}f({\displaystyle \frac{k}{n}}\alpha )F({\displaystyle \frac{k}{n}}\alpha )$

を求めよ．

　$x^4+4=0$の解のうち実部と虚部がともに正であるものを$\alpha$とおくと，$\alpha =\text{①}$である．このとき，$\left|{\alpha }^n\right|>{10}^{100}$となる最小の自然数$n$は$\text{②}$である．${\alpha }^n$が実数であるための必要十分条件は$n$が$\text{③}$の倍数であることであり，さらに，${\alpha }^n>{10}^{100}$となる自然数$n$のうち最小のものは$\text{④}$である．

　また，自然数$n$について${\alpha }^{-n}$の実部を$a_n$とおく．このとき，自然数$k$について$a_{4k-3}=\text{⑤}{(\text{⑥})}^k$であり，無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{a}_{4k-3}$の和は$\text{⑦}$である．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．さらに点$\mathrm{Q}$を通り，直線$\mathrm{AC}$に垂直な直線を引き，辺$\mathrm{EF}$との交点を$\mathrm{R}$とする．内積$\overrightarrow{\mathrm{FR}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を求めよ．