2023　関西大　全学日程文系2月5日実施MathJax

　曲線$y=x^2$を$C_1$とおき，点$\mathrm{P}$$(1,0)$から$C_1$に引いた傾きが正の接線の接点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\text{①}$である．さらに，$\mathrm{O}$を原点，$a\text{，}$$b$を定数とし，曲線$y=a{x}^3+bx$を$C_2$とおく．$C_2$が点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通るとき，$a=\text{②}\text{，}$$b=\text{③}$である．

　このとき，$C_1$と$C_2$の交点のうち$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{Q}$と異なるものを$\mathrm{R}$とすると，$\mathrm{R}$の$x$座標は$\text{④}$である．さらに，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形のうち，$x$座標が$0$以上となる部分の面積を$S_1\text{，}$$x$座標が$0$以下となる部分の面積を$S_2$とすると，$S_1=\text{⑤}\text{，}$$S_2=\text{⑥}$である．

　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{F}$とする．また，$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$が定める平面を$\alpha$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$はそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$の全部または一部を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\text{①}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{DF}}=\text{②}$

と表される．よって，平面$\alpha$上にある点$\mathrm{G}$は実数$s\text{，}$$t$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{DG}}=s\overrightarrow{\mathrm{DE}}+t\overrightarrow{\mathrm{DF}}$

と表されるので，

$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{\text{③}}{6}}\overrightarrow{a}+\text{④}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{t}{2}}\overrightarrow{c}$

となる．よって，平面$\alpha$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とすると，

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\text{⑤}\overrightarrow{b}+\text{⑥}\overrightarrow{c}$

と表される．