2023　関西大　全学日程文系2月3日実施MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$n{a}_{n+1}=3(n+1)a_n+2^{n}n(n+1)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の$$をうめよ．

　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^{n}n}}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表すと，

$b_{n+1}=\text{①}{b}_n+\text{②}$

となる．この漸化式は

$b_{n+1}+\text{③}$$=\text{④}(b_n+\text{③})$

と変形できて，数列$\{b_n+\text{③}\}$は公比$\text{④}$の等比数列となる．よって，$b_n=\text{⑤}$であり，$a_n=n(\text{⑥})$となる．

【２】　次の$$をうめよ．ただし，$\text{②}$は$a$の式で，$\text{③}$は$a$の$1$次式で，その他は数値でうめよ．

　$a>1$を満たす定数に対して，$2$つの曲線$y=x^2-ax-a$と$y=a{x}^2+3x$が異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲は，$1<a<{\displaystyle \frac{\text{①}}{3}}$である．この範囲の$a$に対して，$2$点を結ぶ直線の傾き$t$は，$a$を用いて，$t=\text{②}$と表される．$\text{②}$を変形すると，

$t=-(\text{③}+{\displaystyle \frac{\text{④}}{\text{③}}})-2$

と表される．$t$は$a=\text{⑤}$のとき，最大値$\text{⑥}$をとる．

【３】　関数

$f(x)={10}^{\frac{x}{50}}-4\cdot {10}^{\frac{x}{100}}-3\cdot {10}^{-\frac{x}{100}}+12\cdot {10}^{-\frac{x}{50}}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$t={10}^{\frac{x}{100}}$とおくとき，${10}^{\frac{x}{50}}f(x)$を$t$についての多項式で表せ．

(2)　方程式$f(x)=0$を満たす実数$x$をすべて求めよ．

(3)　不等式$f(x)<0$を満たす整数$x$の個数を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．