2023　関西大　全学日程総合情報学部2月1日実施MathJax

【１】　${\displaystyle \frac{\pi }{12}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たす$x$に対して，関数$f(x)$を

$f(x)=(1-\tan x+2{\tan }^{2}x-3{\tan }^{3}x)$$\times (1-{\displaystyle \frac{1}{\tan x}}+{\displaystyle \frac{2}{{\tan }^{2}x}}-{\displaystyle \frac{3}{{\tan }^{3}x}})$

によって定める．$t=\tan x+{\displaystyle \frac{1}{\tan x}}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$t$の取り得る値の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)$を$t$を用いて表せ．

(3)　$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

【２】　$\mathrm{\angle ACB}=90\mathrm{°}$であるような直角三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\mathrm{BC}$を一辺とする正三角形$\mathrm{BPC}$を$\mathrm{▵ABC}$の外側につくり，$\mathrm{CA}$を一辺とする正三角形$\mathrm{CQA}$を$\mathrm{▵ABC}$の外側につくる．$\mathrm{▵BPC}\text{，}$$\mathrm{▵CQA}$の重心をそれぞれ${\mathrm{G}}_1\text{，}$${\mathrm{G}}_2$とし，${\mathrm{G}}_1$と${\mathrm{G}}_2$の距離を$d$とする．$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}\text{，}$外接円の半径を$R$とし，$\mathrm{\angle BAC}=\theta$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$および線分$\mathrm{O}{\mathrm{G}}_1$の長さを，それぞれ$R$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　$d$を$\mathrm{R}$と$\theta$を用いて表せ．

(3)　$R$を一定に保ったまま$\theta$が変化するとき，$d$の最大値を$R$を用いて表せ．また，$d$が最大となるとき，$3$辺の長さの比$\mathrm{BC}:\mathrm{CA}:\mathrm{AB}$を求めよ．

【３】　$1$から$9$までの各自然数が$1$枚に$1$つずつ書かれた$9$枚のカードがある．それらをよくまぜてから$1$枚のカードを取り出し，取り出したカードに書かれた数を$a$とする．次に，残った$8$枚のカードから$1$枚を取り出し，取り出したカードに書かれた数を$b$とする．$a\text{，}$$b$を用いて$2$桁の自然数$n=10a+b$を作るとき，次の$$をうめよ．

(1)　$n$が$4$の倍数である確率は$\text{①}$である．

(2)　$n^2-n$が$10$の倍数になるような$b$をすべて求めると$b=\text{②}$だから，$n^2-n$が$10$の倍数である確率は$\text{③}$である．

(3)　$n^2-n$が$100$の倍数である確率は$\text{④}$であり，$n^2-n$が$100$の倍数であるような最大の$n$は$\text{⑤}$である．

【４】　$n$次の整式$f(x)$について恒等式$2f(x)=x{f}^{\prime }(x)+x-2$が成り立つとき，次の$$をうめよ．

　$n=1$のとき，$f(x)=\text{①}$である．

　$n\geqq 2$とする．$f(x)$の最高次の項を$a{x}^n$とおく．ただし，$a$は$0$でない実数である．$2f(x)$における$x^n$の係数は$\text{②}$であり，$x{f}^{\prime }(x)+x-2$における$x^n$の係数は$\text{③}$である．よって，$2f(x)=x{f}^{\prime }(x)+x-2$が成り立つとき$n=\text{④}$であることがわかる．このとき，どんな実数$x$に対しても$f(x)$が$1$を値にとらないための，実数$a$に対する必要十分条件は$a<\text{⑤}$である．