2023　関西大　全学日程文系2月2日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．ただし，$\text{①}\text{，}$$\text{②}$は$p$の式で，$\text{③}\text{，}$$\text{④}\text{，}$$\text{⑤}$は数値でうめよ．

　表の出る確率が$p$$\text{（}0<p<1\text{）}$であるコインを$n$枚投げ，出た表の枚数を$X_n$とおく．そのとき，$X_4=3$となる確率は$\text{①}$である．また，$X_2\geqq 1$である確率は$\text{②}$であり，$X_4\geqq 2$である確率は

$\text{③}{p}^4-8p^3+\text{④}{p}^2$

となる．よって，不等式

$\text{②}\geqq \text{③}{p}^4$$-8p^3+\text{④}{p}^2$

が成立するような$p$の値の範囲は，$0<p\leqq \text{⑤}$である．

【２】　次の$$をうめよ．ただし，$\text{①}\text{〜}$$\text{④}$は$a$の式で，$\text{⑤}\text{，}$$\text{⑥}$は数値でうめよ．

　$a$を正の定数とし，曲線$y=x^2$上の点$(a,a^2)$を$\mathrm{P}$とおく．$\mathrm{O}$を座標平面の原点とし，直線$\mathrm{OP}$と$y=x^2$で囲まれた図形の面積を$S$とすると，$S=\text{①}$である．$\mathrm{Q}$を$\mathrm{▵OPQ}={\displaystyle \frac{1}{2}}S$を満たす$x$座標が正の$x$軸上の点とする．このとき，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\text{②}$である．また，$\tan \mathrm{\angle PQO}=\text{③}$である．さらに，$\tan \mathrm{\angle OPQ}=\text{④}$であり，$\tan \mathrm{\angle OPQ}$は$a=\text{⑤}$のとき，最大値$\text{⑥}$をとる．

【３】　$n$を自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$を実数で，$\alpha \ne 0$とする．${\log }_{2^{\alpha }}{2}^{\beta }$を$\alpha$と$\beta$の分数式で表せ．

(2)　${\log }_{2^n}(2^{n+1}x)={\log }_{2^{n+1}}(2^{n}x)$を満たす$x$を$n$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた$x$を$a_n$とし，$S_m={\displaystyle \sum _{n=1}^m}{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおく．$S_m$を$m$を用いて表せ．

(4)　$m$が偶数ならば，$S_m$は$2^m+1$の倍数になることを示せ．