2023　関西大　総合情報学部2月3日実施MathJax

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$はすべて零であることを示せ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$が鋭角三角形であるとき，等式$\left|\overrightarrow{\mathrm{AH}}\right|=2\left|\overrightarrow{a}\right|\cos \angle BAC$が成り立つことを示せ．

(3)　$\mathrm{H}$が$\mathrm{O}$と一致するとき，$\mathrm{▵ABC}$は正三角形であることを示せ．

(1)　ロボットが扉のある位置に移動する確率を求めよ．

(2)　ロボットの扉センサーが反応しているとき，ロボットが扉のある位置に移動している確率を求めよ．

(3)　扉のある$k$箇所のうちの$s$箇所だけには扉の向こう側に宝物がある．ロボットが最初の位置$\mathrm{O}$にいるときに向こう側に宝物がある扉に移動する確率と，ロボットの扉センサーが反応しているときに扉の向こう側に宝物がある確率をそれぞれ求めよ．

(1)　$a_{n+1}$と$b_{n+1}$をそれぞれ$a_n\text{，}$$b_n$で表すと，$a_{n+1}=\text{①}{a}_n+\text{②}{b}_n\text{，}$$b_{n+1}=\text{③}{a}_n+\text{④}{b}_n$となる．

(2)　$c_n=a_n+p{b}_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$が等比数列となる$p$の値をすべて求めると，$p=\text{⑤}$である．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項は，それぞれ$a_n=\text{⑥}\text{，}$$b_n=\text{⑦}$である．

(1)　周囲の長さが$L$であるような正$n$角形$\Omega$の面積を$S_n$とする．$L$と$n$を用いて$\Omega$の一辺の長さを表せば$\text{①}$となり，$\Omega$の中心と頂点を結ぶ線分の長さは$\text{②}$となる．よって，${\displaystyle \frac{L^2}{S_n}}=\text{③}\tan {\displaystyle \frac{\pi }{n}}$が成り立つ．

(2)　$xy$平面内に，原点を中心とし半径が$r$の円$C$と，点$\mathrm{A}$$(a,b)$において直交している$2$直線$l\text{，}$$m$がある．$\mathrm{A}$が$C$の内部（周を含まない）にあるための必要十分条件は$\text{④}<r^2$である．

　この条件が成り立つとき，$C$と$l$の共有点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とし，$C$と$m$の共有点を$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$とすれば，等式${\mathrm{PR}}^2+{\mathrm{PS}}^2$$+{\mathrm{QR}}^2+{\mathrm{QS}}^2$$=\text{⑤}{r}^2$が成り立つ．