2023　関西大　全学日程理系2月5日実施MathJax

【１】　$n$を自然数，$a$を$1<a<2$を満たす定数とし，$x$の関数$f_n(x)$を

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{f}_k(x)=a^x{\{1-(1-a^x)}^n\}$

によって定める．例えば，$n=1$のとき

${\displaystyle \sum _{k=1}^1}{ƒ}_k(x)=f_1(x)=a^x\{1-(1-a^x)\}=a^{2x}$

である．

(1)　関数$f_2(x)$を求めよ．

(2)　関数$f_n(x)$を求めよ．

(3)　定積分$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(x)\mathit{dx}$について，$t=1-a^x$とおく．このとき，${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}}$を$a\text{，}$$t$を用いて表せ．また，$I_n$を$a\text{，}$$n$を用いて表せ．

(4)　(3)の$I_n$について，和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{I}_k$を求めよ．また，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{I}_k$を求めよ．

【２】　$n$を自然数として，数字の$1$と$2$のみを用いてできる自然数を小さい順に並べて数列$\{a_n\}$を次のように作る．以下の$$をうめよ．

$\{a_n\}\text{：}1,2,11,12,21,22,111,112,\cdots$

(1)　$a_{11}=\text{①}\text{，}$$a_{16}=\text{②}$である．

(2)　数列$\{a_n\}$の項のうち，$4$桁の自然数で，千の位の数が$1$であるものは全部で$\text{③}$個ある．また，$4$桁の自然数となるすべての項の和は$\text{④}$である．

(3)　$a_n=21121$であるとき，$n=\text{⑤}$である．

(4)　数列$\{a_n\}$の頃のうち，$n$桁の自然数で，左端の数が$1$であるものは全部で$\text{⑥}$個ある．また，$n$桁の自然数となるすべての項の和は$\text{⑦}$である．

【３】　$t$を媒介変数として，$x=t^2+3t\text{，}$$y=4-t^2$$\text{（}\left|t\right|\leqq 1\text{）}$で表される曲線を$C$とする．次の$$をうめよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$t$を用いて表すと，${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}=\text{①}$である．また，曲線$C$上の点の$y$座標の最大値は$\text{②}\text{，}$最小値は$\text{③}$である．

(2)　曲線$C$の接線のうち，傾きが${\displaystyle \frac{1}{2}}$のものの方程式は$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+\text{④}$である．

(3)　曲線$C$上の点$(t^2+3t,4-t^2)$における$C$の法線が原点$\mathrm{O}$$(0,0)$を通るような$t$の値は小さい方から，$\text{⑤}\text{，}$$\text{⑥}$である．

(4)　曲線$C$と直線$y=3$で囲まれた図形の面積は$\text{⑦}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(1)　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=2\text{，}$$\cos \mathrm{\angle AOB}=-{\displaystyle \frac{1}{8}}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{AH}=\text{①}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(2)　大きさが異なる$4$個のさいころを同時に投げる．このとき，出る目の和が$7$となる確率は$\text{②}$である．また，出る目の積が$3$の倍数となる確率は$\text{③}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(3)　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}$$(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)$がある．点$\mathrm{D}$$(2,4,k)$$\text{（}k$は定数）が平面$\mathrm{ABC}$上にあるとき，$k=\text{④}$である．また，平面$\mathrm{ABC}$に関して点$\mathrm{O}$と対称な点${\mathrm{O}}^{\prime }$の座標は$\text{⑤}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(4)　$2$つの円$x^2+y^2=1\text{，}$${(x-2)}^2+{(y-4)}^2=5$をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とする．円$C_1$の中心を点$\mathrm{A}\text{，}$円$C_2$の中心を点$\mathrm{B}$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線の方程式は$y=\text{⑥}$である．また，$2$つの円$C_1\text{，}$$C_2$の外部にある点$\mathrm{P}$から，$C_1\text{，}$$C_2$に接線を引き，接点をそれぞれ${\mathrm{T}}_1\text{，}$${\mathrm{T}}_2$とする．点$\mathrm{P}$が$\mathrm{P}{\mathrm{T}}_1:\mathrm{P}{\mathrm{T}}_2=1:\sqrt{2}$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式は$\text{⑦}$である．