2023　関西大　全学日程文系学部2月6日実施MathJax

(1)　$\cos (\alpha +\beta )$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\sin \beta }}$の値を求めよ．

(3)　$\sin \alpha$の値を求めよ．

　曲線$y=x^3-x$を$C$とおき，$a$を$0$と異なる定数とする．$\mathrm{P}$を$x$座標が$a$である$C$上の点とし，$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l$とおく．$C$と$l$の共有点のうち，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\text{①}$である．$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$m$とおく．このとき，$m$の傾きは$\text{②}$である．$m$と$x$軸が平行になるのは，$a^2=\text{③}$のときである．

　$C$と$m$が共有する点のうち，$\mathrm{Q}$と異なるものを$\mathrm{R}$とおくとき，$\mathrm{R}$の$x$座標は$\text{④}$である．$\mathrm{R}$における$C$の接線を$n$とおくとき，$n$の傾きは$\text{⑤}$である．$l$と$n$が垂直になるのは，$a^2={\displaystyle \frac{1}{96}}(\text{⑥})$のときである．

　ユークリッドの互除法を用いて，$2$つの整数$9563$と$7729$の最大公約数を求める．$3$回目の計算で求められる商と余りはそれぞれ$\text{①}\text{，}$$\text{②}$であり，最大公約数は$\text{③}$である．ユークリッドの互除法で求められた商と余りに関する一連の等式を用いることにより，不定方程式

$9563x+7729y=2\times \text{③}$

の整数解を$1$つ求めると，$(x,y)=(\text{④},\text{⑤})$となる．この不定方程式のすべての整数解$(x,y)$のなかで，不等式

$\left|x\right|+\left|y\right|<1000$

を満たすものの個数は$\text{⑥}$である．