2023　関西大　全学日程共通テスト利用理系2月7日実施MathJax

$f^{\prime }(x)=ef(x)+{\displaystyle \frac{e^{ex}}{x}}\text{，}$$f(1)=0$

ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数である．次の問いに答えよ．

(1)　関数${\displaystyle \frac{f(x)}{e^{ex}}}$の導関数を求めよ．

(2)　関数$f(x)$を求めよ．

(3)　関数${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{e^{ex}}}$の増減を調べ，方程式$f^{\prime }(x)=0$の正の解を求めよ．

　$m^k$を$7$で割ったときの商を$q_k\text{，}$余りを$a_k$とおくと，$m^k=7q_k+a_k$$\text{（}0\leqq a_k\leqq 6\text{）}$と表されることから，$a_1=5\text{，}$$a_2=\text{①}$である．さらに，$a_{k+1}$は$\text{②}\times a_k$を$7$で割ったときの余りに等しいことがわかる．これを繰り返して，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}\cdots$を計算することができる．

　$a_k=a_1$となる$1$より大きい自然数$k$の中で最小のものを$l$とおくと，$l=\text{③}$である．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_{l-1}$の値は$\text{④}$であり，$S_{l^n}$を$n$の式で表すと$S_{l^n}={\displaystyle \frac{\text{⑤}}{2}}$である．さらに，$S_{l^n}$を$l$進法で表すと$\text{⑥}$桁であり，$\text{⑥}$桁目の数字は$\text{⑦}$である．

(1)　複素数${\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{z_0-\beta }}-i$を表す点$\mathrm{P}$と，半直線$\mathrm{OP}$が実軸の正の部分となす角を解答欄の複素数平面上に図示せよ．

(2)　複素数平面上で${\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{z_0-\beta }}$を表す点と，(1)で求めた点$\mathrm{P}$との位置関係に注目し，${\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{z_0-\beta }}$の偏角$\theta$を$0\leqq \theta <2\pi$の範囲で求めよ．

(3)　$z_n={\left({\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{z_0-\beta }}\right)}^n（z_0-\beta )+\beta$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．複素数平面上で，$z_0\text{，}$$\beta$を表す$2$点を通る直線と$z_n\text{，}$$\beta$を表す$2$点を通る直線が垂直に交わるような自然数のうち最小のものを求めよ．

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=3{\displaystyle {\int }_0^{a_n}}x\sqrt{a_n^2-x^2}\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

定積分${\displaystyle {\int }_0^{a_n}}x\sqrt{a_n^2-x^2}\mathit{dx}$を$a_n$を用いて表すと$\text{④}$である．さらに，$\log a_n=b_n$とおき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めると$b_n=\text{⑤}$である．