2023　関西大　全学日程総合情報学部2月6日実施MathJax

(1)　$xy$平面内の$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$がちょうど$2$つの共有点をもつとき，$a$の値を求めよ．

(2)　(1)のとき，$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．

(3)　直線$x=0$によって(2)の$D$を$2$つの部分に分割し，$x$座標が$0$以下である部分の面積を$S_1\text{，}$$x$座標が$0$以上である部分の面積を$S_2$とする．このとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を求めよ．

【２】　$xy$平面上で点$(1,0)$の位置に数字$1$を置き，以下，図のように格子点に反時計回りの渦巻き状に数字$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}\cdots$を配置する．ただし，格子点とは$x$座標，$y$座標がともに整数である点をいう．

(1)　$x$軸の正の部分に位置する数字を，$x$座標の小さいほうから並べて$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}\cdots$として数列$\{a_n\}$を定める．一般項$a_n$を$n$の式で表せ．

(2)　直線$y=x$の第$1$象限にある部分に位置する数字を，$x$座標の小さいほうから並べて$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3\text{，}\cdots$として数列$\{b_n\}$を定める．一般項$b_n$を$n$の式で表せ．また，初項から第$n$項までの和$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$を求めよ．

　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の$$をうめよ．

　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せば，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\text{①}\overrightarrow{a}+\text{②}\overrightarrow{b}$となる．

　点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AC}$に垂線を引き，交点を$\mathrm{R}$とする．$\left|\overrightarrow{a}\right|=|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|=2\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=1$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\text{③}\overrightarrow{a}+\text{④}\overrightarrow{c}$となる．このとき，四面体$\mathrm{OABC}$を$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る平面で切断し，その切断面と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{S}$とすれば，${\displaystyle \frac{\mathrm{BS}}{\mathrm{SC}}}=\text{⑤}$である．

　$0$以上$N$以下の整数$n$に対して，「終了」したとき表が丁度$n$回出ている確率を$p(n)$とおく．表が$1$度も出ない確率$p(0)=\text{①}$である．また，$1\leqq n<N$のとき$p(n)=\text{②}$であり，$p(N)=\text{③}$である．いま，$f(n)$が正数$r$を用いて$f(n)=2^{n+1}{r}^n$によって与えられているとき，$E={\displaystyle \sum _{n=1}^N}p(n)f(n)$とおけば，$r=1$のとき$E=\text{④}$であり，$r$が$1$でなければ$E=\text{⑤}$である．