2023　関西大　総合情報学部2月4日実施MathJax

(1)　$p$と$q$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$と$C_1$とで囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が曲線$C_2\text{：}y=-x^2+2x-2$上をくまなく動くとき，(2)で求めた$S$の最小値とそのときの$p$の値を求めよ．

(1)　$x>0$のとき$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$の最小値を求めよ．また，最小となるときの$x$の値を求めよ．

(2)　$n$を自然数とするとき，$x$に関する方程式

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{\displaystyle \frac{x^k}{1+x^{2k}}}=n$

の実数解は$x=1$だけであることを示せ．

(a)　コインが$3$枚とも表であれば，駒を$x$軸方向に$+1$動かす．

(b)　コインの$2$枚が表で，$1$枚が裏であれば，駒を$x$軸方向に$-1$動かす．

{c}　コインの$1$枚が表で，$2$枚が裏であれば，駒を$y$軸方向に$+1$動かす．

(d)　コインが$3$枚とも裏であれば，駒を$y$軸方向に$-1$動かす．

このとき，次の$$をうめよ．

(1)　コインを$1$回投げたとき，胸が$(0,1)$にある確率は$\text{①}$である．

(2)　コインを$2$回投げたとき，駒が原点にある確率は$\text{②}$である．

(3)　コインを$3$回投げたとき，駒が原点にある確率は$\text{③}$である．

(4)　コインを$4$回投げたとき，駒が$(1,1)$にある確率は$\text{④}$である．

(5)　コインを$5$回投げたとき，駒が$(0,1)$にある確率は$\text{⑤}$である．

$f(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^{\beta }}(x^2-\alpha t)f(t)\mathit{dt}+1$

を満たす関数$f(x)$が$\alpha$に無関係になるように$\beta$を定め，そのときの$f(x)$を求めよう．

　$A={\displaystyle {\int }_{-1}^{\beta }}f(t)\mathit{dt}\text{，}$$B={\displaystyle {\int }_{-1}^{\beta }}tf(t)\mathit{dt}$とおけば，$f(x)=A{x}^2+\text{①}$と表すことができる．よって，$f(x)$が$\alpha$に無関係ならば$B=\text{②}$でなければならない．このとき$A=\text{③}$であるから，$B=\text{②}$のとき$\beta =\text{④}$であり，$f(x)=\text{⑤}$である．