2023　関西大　推薦システム理工(数学科)学部MathJax

【１】　次の$$をうめよ．

(1)　$p$を実数とし，$3^p＝x$とおく．$y={\displaystyle \frac{9^p-8-3^{-p+1}}{3^p＋3+3^{-p}}}$の値を$x$の整式で表すと$\text{①}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(2)　${\log }_{2}3＝a\text{，}$${\log }_{3}7=b$とおくとき，${\log }_{3}56$は$a\text{，}$$b$を用いて$\text{②}$と表され，$4^{{\log }_2({\log }_{3}56)}$は$\text{③}$と表される．

【１】　次の$$をうめよ．

(3)　$i$を虚数単位とする．$-18+18\sqrt{3}i$を極形式で表すと$\text{④}$であり，$z^4=-18+18\sqrt{3}i$を満たす複素数$z$をすべて求めると$\text{⑤}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(4)　$(x,y,z)‐$座標空間において，$2$点$\mathrm{A}$$(1,2,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,3,2)$を通る直線$l$上に点$\mathrm{P}$がある．原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を結んだ直線$\mathrm{OP}$と直線$l$が垂直であるとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\text{⑥}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(5)　不等式${\displaystyle \frac{\left|x\right|}{3}}+{\displaystyle \frac{\left|y\right|}{4}}\leqq 1$の表す領域$D$を図示すると

$\text{⑦}$

となる．さらに，

「${(x-1)}^2+{(y+1)}^2\leqq r^2$$⟹{\displaystyle \frac{\left|x\right|}{3}}+{\displaystyle \frac{\left|y\right|}{4}}\leqq 1\text{」}$

が成り立つような最大の正の数$r$は$\text{⑧}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(6)　白玉$9$個，赤玉$3$個が入っている袋から，玉を$1$個取り出してもとに戻すことを$4$回続けて行うとき，少なくとも$2$回は赤玉が出る確率は$\text{⑨}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(7)　次の関数$f(x)$が$x=2$で連続となるときの定数$k$の値は$\text{⑩}$である．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\sin (kx-2k)}{x-2}}& \text{（}x>2\text{）}\\ k^{2}x-1& \text{（}x\leqq 2\text{）}\end{array}$

【１】　次の$$をうめよ．

(8)　関数$f(x)=e^{-x}\cos x$$\text{（}0<x<2\pi \text{）}$の導関数は$\text{⑪}$であり，$f(x)$は$x=\text{⑫}$のとき極大値$\text{⑬}$をとる．

【１】　次の$$をうめよ．

(9)　関数$y=x^{\log x}$$\text{（}x>0\text{）}$の導関数は$\text{⑭}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(10)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}\sin (3\sqrt{x})\cos (5\sqrt{x})\mathit{dx}$の値は$\text{⑮}$である．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　実数$a$について，$a^2$が無理数であるとき$a$自身も無理数といえるか．いえる場合には証明を，そうでない場合には反例を挙げよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(2)　$n$が自然数のとき，$2n^3+3n^2-5n$は$6$の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明せよ．