2023　関西学院大　文系学部全学日程2月1日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を正の実数とし，$2$次関数$y=-x^2+6$の$a\leqq x\leqq 2a$における最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．

(ⅰ)　$a=2$のとき，$M-m=\text{ア}$である．

(ⅱ)　$M\geqq 0$であるとき，$a$の取りうる値の範囲は$\text{イ}$である．

(ⅲ)　$M-m=12$のとき，$a=\text{ウ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$n$個のさいころを同時に$1$回投げ，出た目の数の和について，その一の位の数を$X\text{，}$出た目の数の積について，その一の位の数を$Y$とする．

(ⅰ)　$n=2$とする．$Y=0$となる確率は$\text{エ}$であり，$X\leqq 7$となる確率は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　$n=3$とする．$X=3$となる確率は$\text{カ}$である．$X=3$であったとき，$Y=0$である条件付き確率は$\text{キ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a\text{，}$$b$を正の実数とし，座標平面において$x^2+y^2+4x+ay=0$の表す円を$C\text{，}$直線$y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+b$を$l$とする．円$C$の半径は$\sqrt{5}$で，円$C$が直線$l$から切り取る線分の長さは$\sqrt{10}$であるとする．

(ⅰ)　$a=\text{ア}\text{，}$$b=\text{イ}$である．

(ⅱ)　$k$を実数とする．直線$y=k(x+5)$は，連立不等式$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+4x+ay\leqq 0\\ y\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}x+b\end{array}$の表す領域と共有点をもつとする．このとき，$k$の最大値は$\text{ウ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　等差数列$\{a_n\}$について，その初項から第$n$項までの和を$S_n$とおく．数列$\{a_n\}$と和$S_n$は，$a_1-a_{10}=-18\text{，}$$S_3=15$を満たしているとする．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{エ}$であり，$S_n=\text{オ}$である．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^8}{\displaystyle \frac{1}{S_k}}=\text{カ}$である．

(ⅲ)　自然数$n$に対して，$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^{3n}}{b}_k{S}_k=\text{キ}$である．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とし，$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$とする．関数$f(x)$は，$f(2)=10\text{，}$$f^{\prime }(2)=13\text{，}$${\displaystyle {\int }_0^2}f(x)\mathit{dx}=6$を満たしているとする．また，$k$を正の実数とし，$2$つの曲線$C_1\text{：}y=f(x)$と$C_2\text{：}y=k{x}^2$は異なる$3$個の共有点をもつとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を求めよ．

(2)　$k$の取りうる値の範囲を求めよ．

(3)

(ⅰ)　$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた$2$つの部分の面積が等しいとき，$k$の値を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)の条件が満たされるとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$の$3$個の共有点の$x$座標をすべて求めよ．