2023　関西学院大　理工学部全学日程MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　整式$P(x)=x^4+11x^2-4x+32$が$P(x)={(x^2+a)}^2-{(x+b)}^2$と表せるような定数$a\text{，}$$b$の値は$a=\text{ア}\text{，}$$b=\text{イ}$であり，$P(x)$を実数の範囲で因数分解すると$P(x)=\text{ウ}$となる．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　方程式${\log }_2(x+4)-{\log }_4(x+7)=1$の解は$x=\text{エ}$であり，不等式${\log }_{\frac{1}{9}}(4-x)>{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす$x$の値の範囲は$\text{オ}$である．また，関数$y=2{({\log }_2\sqrt{x})}^2+{\log }_{\frac{1}{2}}{x}^2+5$の${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq x\leqq 8$における最小値は$\text{カ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$1$から$2023$までの数が$1$つずつ書かれた$2023$個の玉が入った袋から$1$個の玉を取り出す．取り出した玉に書かれた数が$7$で割り切れる確率は$\text{キ}\text{，}$$7$と$17$のいずれでも割り切れる確率は$\text{ク}\text{，}$$7$または$17$のいずれか一方で割り切れてもう片方では割り切れない確率は$\text{ケ}$であり，$2023$と互いに素である確率は$\text{コ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$xy$平面において，直線$y=-{\displaystyle \frac{4}{3}}x$を$l$とし，円$x^2+y^2-px-y+q=0$$\text{（}p\text{，}$$q$は定数，$p>0\text{）}$を$C$とする．このとき，円$C$の中心から$y$軸までの距離を$p$を用いて表すと$\text{ア}$であり，円$C$の中心から直線$l$までの距離を$p$を用いて表すと$\text{イ}$である．したがって，円$C$が$y$軸と直線$l$のどちらにも接しているとき，$p\text{，}$$q$の値は$p=\text{ウ}\text{，}$$q=\text{エ}$であり，円$C$の半径は$\text{オ}$である．

　次に，$p=\text{ウ}\text{，}$$q=\text{エ}$とし，$y$軸上の点$\mathrm{A}$$(0,{\displaystyle \frac{13}{2}})\text{，}$原点$\mathrm{O}\text{，}$直線$l$上の点$\mathrm{B}$の$3$点を頂点とする$\mathrm{▵AOB}$の内接円が円$C$であるとする．このとき直線$\mathrm{AB}$の方程式は$y=\text{カ}$であり，直線$\mathrm{AB}$と円$C$の接点の座標は$\text{キ}$であり，点$\mathrm{B}$の座標は$\text{ク}$である．また，$\mathrm{▵AOB}$の面積は$\text{ケ}$であり，$\mathrm{▵AOB}$の外接円の半径は$\text{コ}$である．

【３】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　関数$f(x)=e^{-2x}\sin x\text{，}$$g(x)=e^{-2x}\cos x$を考える．

(1)　$f^{\prime }(x)=e^{-2x}\text{ア}$である．また，${\{af(x)+bg(x)\}}^{\prime }=f(x)$が成り立つような定数$a\text{，}$$b$の値は$a=\text{イ}\text{，}$$b=\text{ウ}$である．

(2)　$S_n={\displaystyle {\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }}|f(x)|\mathit{dx}$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$とおく．このとき，$S_1=\text{エ}$であり，$S_n$を$n$の式で表すと$S_n=\text{オ}(1+e^{2\pi })$である．また，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n={\displaystyle \frac{1+e^{2\pi }}{\text{カ}}}$である．

(3)　${\displaystyle \int }{\{f(x)\}}^2\mathit{dx}=r{e}^{-4x}+sf(2x)+tg(2x)+C$$\text{（}C$は積分定数）が成り立つような定数$r\text{，}$$s\text{，}$$t$の値は$r=\text{キ}\text{，}$$s=\text{ク}\text{，}$$t=\text{ケ}$である．

(4)　$x$軸と曲線$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$\text{コ}$である．

【４】　複素数平面上に点$z_1\text{，}$$z_2\text{，}\cdots \text{，}$$z_n\text{，}\cdots$がある．$z_1=0$である．また，

$z_{n+1}={\displaystyle \frac{1+i}{2}}{z}_n+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立っている．複素数$\alpha$は$\alpha ={\displaystyle \frac{1+i}{2}}\alpha +1$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$z_3$および$\alpha$の値を求めよ．また，${\alpha }^{20}$の値を求めよ．

(2)　$|z_1-z_2|+|z_2-z_3|+\cdots ={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}|z_n-z_{n+1}|$の値を求めよ．

(3)　$a_n=|z_n-\alpha |$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，数列$\{a_n\}$が満たす漸化式を導き，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　複素数${\displaystyle \frac{z_{n+1}-\alpha }{z_n-\alpha }}$の偏角$\arg {\displaystyle \frac{z_{n+1}-\alpha }{z_n-\alpha }}$を$\theta$$\text{（}0<\theta <2\pi \text{）}$とするとき，$\theta$を求めよ．また，$3$点$\alpha \text{，}$$z_n\text{，}$$z_{n+1}$を頂点とする三角形の面積を$S_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$とする．数列$\{S_n\}$の一般項を求めよ．