2023　関西学院大　文系学部全学日程2月2日実施MathJax

(1)　$a$を実数とし，座標平面上の放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+ax+a^2+2a-3$を考える．この放物線は異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で$x$軸と交わっているとする．

(ⅰ)　$a$の取りうる値の範囲は$\text{ア}$である．

(ⅱ)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のうち，一方の$x$座標が負であり，もう一方が原点に一致するとき，$a=\text{イ}$である．また，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標がともに$4$以上であるとき，$a$の取りうる値の範囲は$\text{ウ}$である．

(2)　$n=3$または$4$とし，$n$人で$1$回じゃんけんをする．ただし，じゃんけんには，グー，チョキ，パーの$3$種類の手の出し方がある．参加者は同時にいずれか$1$つの手を出し，勝敗を決める．グーはチョキに勝ち，チョキはパーに勝ち，パーはグーに勝つものとする．どの参加者もグー，チョキ，パーを出す確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．また，参加者全員が$1$種類の同じ手を出す，または参加者の出した手がグー，チョキ，パーの3種類あり，勝者が決まらないことを「あいこ」と呼ぶ．

(ⅰ)　$n=3$のとき，あいこになる確率は$\text{エ}$である．

(ⅱ)　$n=4$とする．$2$人だけが勝つ確率は$\text{オ}$である．また，あいこになる確率は$\text{カ}$である．あいこになったとき，全員が同じ手を出している条件付き確率は$\text{キ}$である．

(1)　$p$を実数とする．$x$の方程式

$\sin 2x-2\cos x$$+2\sin x+p=0$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$$\cdots \text{①}$

を考える．

(ⅰ)　$t=\cos x-\sin x$とおく．$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$t$の取りうる値の範囲は$\text{ア}$である．また，$\sin 2x-2\cos x+2\sin x$を$t$の式で表すと$\text{イ}$である．

(ⅱ)　$p=-1$のとき，方程式$\text{①}$の実数解は，$x=\text{ウ}$である．

(ⅲ)　方程式$\text{①}$が異なる実数解をちょうど$3$個もつとき，$p$の取りうる値の範囲は$\text{エ}$である．

(2)　右の図のような平行六面体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$とおく．線分$\mathrm{CG}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$直線$\mathrm{AM}$と平面$\mathrm{BDE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{AM}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\text{オ}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\text{カ}$である．

(ⅱ)　直線$\mathrm{DP}$と平面$\mathrm{ABE}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると，${\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QE}}}=\text{キ}$である．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)

(ⅰ)　放物線$C_1$上の点$(t,t^2)$における接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　(ⅱ)の直線$l$が放物線$C_2$にも接しているとき，$t$を$a$の式で表せ．さらに，$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$および直線$l$で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表せ．

(3)　$l$は(2)(ⅱ)で求めた直線であるとする．このとき，点$\mathrm{P}$を通り直線$l$に平行な直線$m$と放物線$C_2$で囲まれた部分の面積を$T$とする．${\displaystyle \frac{T}{S}}$の値を求めよ．