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2023-15113-0501
2023 関西学院大学 理系学部全学日程
2月2日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) 数字 1 , 2 とアルファベット a , b , c , d , e の 7 文字を使って順列を作る.数字が隣り合う順列は ア 通り,数字の間にちょうど 4 文字並ぶ順列は イ 通り,両端ともアルファベットである順列は ウ 通り,少なくとも一方の端が数字である順列は エ 通りある.
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(2) 座標空間に 2 点 A (1, -3,2 ), B (3, -4,1 ) をとる. | AB→ | 2= オ である. 2 点 A , B から等距離にある x 軸上の点 P の座標は カ である.三角形 ABP の面積は キ である.
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(3) 複素数 α= 4⁢ i1-i を極形式 α =r⁢( cos⁡θ+ i⁢sin⁡θ ) ( r>0 , 0≦θ< 2⁢π ) で表すと, θ= ク である.複素数 α n が実数になるような自然数 n のうち,最も小さいものは n = ケ である.このとき, αn = コ である.
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【2】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
{an } を初項 a 1=9 , 公差 2 の等差数列とし, {b n} を初項 b 1=2 , 公比 13 の等比数列とする.
(1) {a n} の一般項は a n= ア であり, Sn= ∑ k=1 na k とすると S n= イ である.また,
1 a1⁢ a2 + 1a2 ⁢a3 + 1a3 ⁢a4 +⋯ + 1a19 ⁢a20 = ウ
であり,
1 a1 +a 2 +1 a2 +a3 + 1 a3+ a4 +⋯ + 1 a19 +a20 = エ
である.
(2) {b n} の一般項は b n= オ である. Tn= ∑ k=1n bk とすると T n= カ であり, limn→ ∞ Tn= キ である.
(3) Un= ∑ k=1 n( 3⁢k2 -ak ) とすると, Un = ク である. U1 , U2 , U3 , ⋯ , U60 の中で, 7 で割り切れるものは ケ 個あり, 4 で割り切れるものは コ 個ある.
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【3】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
0≦θ≦ 34 ⁢π とし, s=sin⁡ θ-3 ⁢cos⁡θ とする.
(1) s=r⁢ sin⁡( θ-α ) ( r , α は r >0 , 0≦α <π を満たす定数)の形に書き直すと, s= ア である. s のとりうる値の範囲は イ である.
(2) s2 は θ = ウ のとき最小値をとり, θ= エ のとき最大値 オ をとる.また,関数 f ⁡(s )= s2 2+ 2s 2 を s >0 となる場合に限って考えると, f⁡( s) は θ = カ のとき最小値をとる.
(3) t=- 3⁢sin2 ⁢θ+cos ⁡2⁢θ とする. t を s の式で表すと t = キ であり, g⁡( t)= t+2⁢ 3⁢( t+2) は θ = ク のとき最小値 ケ をとる.
a は実数の定数とするとき, g⁡( t)= a を満たす θ が 2 個存在するような a の値の範囲は コ である.
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【4】 関数 f ⁡(x )= x2+ 3⁢x+a x+2 は x =0 で極値をとるとする.曲線 C :y=f ⁡(x ) と直線 l: y=4 を考える.次の問いに答えよ.
(1) 定数 a の値を定めよ.
(2) 関数 f ⁡(x ) の極値をすべて求めよ.
(3) 曲線 C と直線 l のすべての交点の x 座標を求めよ.
(4) 曲線 C と直線 l で囲まれた部分の面積 S を求めよ.
(5) 曲線 C と直線 l で囲まれた部分を直線 l の周りに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.