2023　関西学院大　社会,法学部個別日程2月7日実施MathJax

(1)　$p$を実数とし，$2$次方程式$x^2+2\sqrt{2}x+p=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$をもつとする．

(ⅰ)　$p$の取りうる値の範囲は$\text{ア}$である．

(ⅱ)　$\beta -\alpha \geqq \sqrt{2}$を満たす$p$の最大値は$\text{イ}$である．

(ⅲ)　${\alpha }^4+{\beta }^4=98$であるとき，$p=\text{ウ}$である．

(2)　$2$つの袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の中にそれぞれくじが入っている．袋$\mathrm{A}$には当たりくじ$2$本，はずれくじ$2$本の合計$4$本が，袋$\mathrm{B}$には当たりくじ$2$本，はずれくじ$4$本の合計$6$本が入っている．これらの袋から同時に$2$本ずつ合計$4$本のくじを引き，そのうちの当たりくじの合計本数を$X$とする．

(ⅰ)　$X=4$となる確率は$\text{エ}$であり，$X=1$となる確率は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　$X=2$となる確率は$\text{カ}$である．$X=2$であったとき，当たりくじがすべて袋$\mathrm{B}$から取り出されている条件付き確率は$\text{キ}$である．

(1)　$a$は正の実数であるとする．$x>0$における$x+a+{\displaystyle \frac{4a^2}{x+a}}$の最小値は$\text{ア}$である．また，$x>0$において，${\displaystyle \frac{x^2+6x+13}{x+2}}$は$x=\text{イ}$のとき最小値$\text{ウ}$をとる．

(2)　数列$\{a_n\}$は群に分けられており，下のように，第$k$群には分母が$2^k$で，かつ，分子には$2^k$より小さいすべての正の奇数が小さい順に並んでいるとする．ここで，$k$は自然数である．

${\displaystyle \frac{1}{2}}|{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{3}{4}}|{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{3}{8}},{\displaystyle \frac{5}{8}},{\displaystyle \frac{7}{8}}|{\displaystyle \frac{1}{16}},{\displaystyle \frac{3}{16}},\cdots$

第$k$群のすべての項の和$S_k$は$\text{エ}$である．第$1$群から第$n$群までのすべての頃の和$T_n$は$\text{オ}$であり，$T_N$の整数部分が$5$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$となる最小の自然数$N$は$\text{カ}$である．また，$a_n<{\displaystyle \frac{1}{1000}}$となる最小の$n$は$\text{キ}$である．

$f(x)=x^2+x{\displaystyle {\int }_{-1}^1}g(t)\mathit{dt}+{\displaystyle {\int }_0^3}f(t)\mathit{dt}$

$g(x)=xf(x)-1$

が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a={\displaystyle {\int }_{-1}^1}g(t)\mathit{dt}\text{，}$$b={\displaystyle {\int }_0^3}f(t)\mathit{dt}$とおくとき，定数$a\text{，}$$b$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$の共有点の$x$座標を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }\{f(x)-g(x)\}\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　定積分$I={\displaystyle {\int }_{\frac{3}{2}}^3}|f(x)-g(x)|\mathit{dx}$の値を求めよ．