2023　産業医科大学　医学部MathJax

【１】　空欄に当てはまる適切な数を解答紙の所定の欄に記入しなさい．

　濃度$50\mathrm{\%}$のブドウ糖溶液$\mathrm{A}\text{，}$濃度$10\mathrm{\%}$のアミノ酸溶液$\mathrm{B}\text{，}$および濃度$20\mathrm{\%}$の脂肪乳剤溶液$\mathrm{C}$を使って，合わせて$1400\mathrm{kcal}$を点滴で投与する．ここで濃度は溶液の質量に対するブドウ糖，アミノ酸，脂肪乳剤，それぞれの質量の割合である．

　それぞれの溶液の密度は$1000\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$としてよい．また，ブドウ糖，アミノ酸，脂肪乳剤の単位質量$(\mathrm{g})$あたりのカロリーは，それぞれ，$4\mathrm{kcal}/\mathrm{g}\text{，}$$4\mathrm{kcal}/\mathrm{g}\text{，}$$9\mathrm{kcal}/\mathrm{g}$とする．

　溶液$\mathrm{A}$を$400\mathrm{mL}$用意する．この溶液に含まれるブドウ糖は$\text{ア}\mathrm{g}$であり，カロリーは$\text{イ}\mathrm{kcal}$である．

　溶液$\mathrm{B}$により$240\mathrm{kcal}$投与するためには，この溶液を$\text{ウ}\mathrm{mL}$用意する必要がある．

　所定のカロリーを投与するためには，溶液$\mathrm{C}$は$\text{エ}\mathrm{mL}$用意する必要がある．

【２】　空欄に当てはまる適切な数を解答紙の所定の欄に記入しなさい．

・空間内の原点$\mathrm{O}$を含む四面体$\mathrm{OABC}$があり，直線$\mathrm{OA}$上の動点を$\mathrm{P}$とする．各点の座標は，$\mathrm{A}$$(2,4,6)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-3,4,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(8,3,2)$とする．${\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2$が最小値になるときの$\mathrm{P}$の座標は$\text{オ}$である．

【２】　空欄に当てはまる適切な数を解答紙の所定の欄に記入しなさい．

・平行六面体$\mathrm{OABC‐DEFG}$において辺$\mathrm{BF}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{OQ}$が平面$\mathrm{ACD}$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．このとき$\mathrm{OP}:\mathrm{PQ}=\text{カ}$となる．

【２】　空欄に当てはまる適切な数を解答紙の所定の欄に記入しなさい．

・高さ$h\text{，}$底面の半径$R\text{，}$体積一定の直円錐が球に内接している．この球の半径が最小になるとき，${\displaystyle \frac{h}{R}}=\text{キ}$である．

【２】　空欄に当てはまる適切な数を解答紙の所定の欄に記入しなさい．

・二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=6$とする．頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．この三角形の外接円の中心を$\mathrm{R}\text{，}$内接円の中心を$\mathrm{S}$とする．線分$\mathrm{AS}\text{，}$$\mathrm{SR}\text{，}$$\mathrm{RH}$の長さの比は，$\mathrm{AS}:\mathrm{SR}:\mathrm{RH}=\text{ク}$である．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の式を簡単にしなさい．ただし，分母に根号が残らないようにすること．

${\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}}}-{\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2-\sqrt{3}+\sqrt{7}}}$

【３】　次の問いに答えなさい．

(2)　二つの複素数$\alpha =a+ci\text{，}$$\beta =b-ci$がある．複素数平面上の原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$点$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$点$\mathrm{K}(k\beta )\text{，}$実軸上の点$\mathrm{X}(x)$を考える．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$x\text{，}$$k$は正の実数であり$0<k<1$とする．${\displaystyle \frac{\alpha -x}{k\beta -x}}$が実数のとき，$\mathrm{▵OAX}$の面積は$\mathrm{▵XBK}$の面積の何倍か答えなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(3)　次の和を求めなさい．

${\displaystyle \sum _{k=1}^{100}}{\displaystyle \frac{2}{4k^2-1}}$

【３】　次の問いに答えなさい．

(4)　$578$と$238$の公約数の和を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(5)　$4$つの箱に異なる$6$つの食器を入れる方法は何通りあるか求めなさい．ただし，$1$つも入れない箱があっても良いとする．

【３】　次の問いに答えなさい．

(6)　点$\mathrm{A}$$(6,8)$を原点$\mathrm{O}$を中心として，${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した位置にある点を点$\mathrm{B}$としたとき，直線$\mathrm{AB}$の長さを求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(7)　$p=\sqrt{3}\cos \theta +\sin \theta$としたとき，$\sin 3\theta$を$p$で表しなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(8)　$-{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^3+4x+a=0$が異なる実数解を$3$つもち，そのうち$2$つが負で，$1$つが正の場合の$a$の範囲を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(9)　曲線$y^2=2-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$が$y={\displaystyle \frac{x^3}{8}}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{8}}{x}^2+\sqrt{2}$と何個共有点を持つか答えなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(10)　次の積分を計算しなさい．

${\displaystyle {\int }_1^e}{x}^2\log x\mathit{dx}$

【４】　空間の原点を$\mathrm{O}$とする．異なる$3$点，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．それぞれの座標を$\mathrm{A}$$(x_{\mathrm{A}},0,z_{\mathrm{A}})\text{，}$$\mathrm{B}$$(x_{\mathrm{B}},0,z_{\mathrm{B}})\text{，}$$\mathrm{C}$$(x_{\mathrm{C}},y_{\mathrm{C}},z_{\mathrm{C}})$とする．ただし，$x_{\mathrm{A}}>0\text{，}$$z_{\mathrm{A}}>0\text{，}$$x_{\mathrm{B}}<0\text{，}$$z_{\mathrm{B}}>0\text{，}$$x_{\mathrm{C}}<0\text{，}$$y_{\mathrm{C}}<0\text{，}$$z_{\mathrm{C}}>0$であり，点$\mathrm{C}$から$x‐z$平面に垂線をおろしたとき，$x‐z$平面との交点は線分$\mathrm{OB}$上にある．また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1$である．

　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$z$軸のなす角を$\alpha \text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$z$軸のなす角を$\beta \text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角を$\gamma \text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角を$\Omega$とする．ただし，$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$は，すべて$0$より大きく${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$より小さく，また，$0<\Omega <\pi$とする．角度の単位はラジアンとする．

(1)　$x_{\mathrm{A}}\text{，}$$z_{\mathrm{A}}\text{，}$$x_{\mathrm{B}}\text{，}$$z_{\mathrm{B}}\text{，}$$x_{\mathrm{C}}\text{，}$$y_{\mathrm{C}}\text{，}$$z_{\mathrm{C}}$を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を使って表しなさい．

(2)　$\cos \Omega$を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を使って表しなさい．

　空間上の$1$点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$のなす角度を$\theta$とする．ただし，$0<\theta <\pi$とする．線分$\mathrm{OD}$を軸として$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を回転させていく．角度$X$のときに$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と一致した$\text{（}0<X\leqq \pi$とする）．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$のなす角度を求めなさい．

(4)　$\theta$が変化するとき，次の値を求めなさい．

(4-1)　$X$の最小値とそのときの$\theta$の値

(4-2)　$X$が最大値をとるときの$\theta$の値

(5)　$\cos X$を$\Omega$と$\theta$を用いて表しなさい．