2023　西南学院大学　商,経済,法学部MathJax

【１】

1.　方程式$|x^2-8x+12|-3=0$の解は，$\text{ア}\pm \sqrt{\text{イ}}\text{，}$$\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}$となる．ただし，$\text{ウ}<\text{エ}$である．

　また，$n$を実数の定数とすると，方程式$|x^2-8x+12|-n=0$は，$\text{オ}<n<\text{カ}$のとき，$4$つの相異なる実数解をもつ．

【１】

2.　$x>1$のとき，${\log }_{7}x+28{\log }_{x}7$は最小値$\text{キ}\sqrt{\text{ク}}$をとる．

【１】

3.　$a$を実数の定数とする．$f(x)=x^3+a{x}^2+2x-2a$が極値を$2$つもつとき，$a$の範囲は，$a<-\sqrt{\text{ケ}}\text{，}$$a>\sqrt{\text{ケ}}$となる．

　また，$2$つの極値の和が$0$となるとき，$a=\text{コサ}$である．

【１】

4.　$a\text{，}$$b$を実数の定数とし，$i$を虚数単位とする．

　方程式$x^3+a{x}^2+9x+b=0$の解の$1$つが$x=1-2i$であるとき，$a=\text{シス}\text{，}$$b=-\text{セソ}$となる．

　また，この方程式の実数解は$x=\text{タ}$となる．

【２】

1.　ある工場で作られた製品には$20\mathrm{\%}$の割合で不良品が含まれている．この製品を$1$個取り出して，$2$つの検査機で別々に検査をする．この$2$つの検査機がそれぞれ，不良品ではないのに不良品であると判定してしまう確率は$10\mathrm{\%}$であり，不良品であるのに不良品ではないと判定してしまう確率は$10\mathrm{\%}$である．また，検査機の判定は，もう片方の判定に影響を及ぼさないとする．以下の問に答えよ．

(1)　$1$個の製品を取り出して検査をしたときに，$2$つの検査機が両方とも不良品であると判定する確率は$\text{チツ}\mathrm{\%}$である．

(2)　$1$個の製品を取り出して検査をしたときに，片方の検査機は不良品であると判定し，もう片方の検査機が不良品ではないと判定した．この製品が不良品である条件付き確率は$\text{テト}\mathrm{\%}$である．

【２】

2.　円$C\text{：}{x}^2+y^2-10x+10y+25=0$と，点$\mathrm{A}$$(6,2)$について考える．以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$を通り，円$C$に接する直線は$2$本あり，その方程式は，$\text{ナ}x-\text{ニ}y-10=0$と，$\text{ヌ}x+\text{ネ}y-30=0$である．

(2)　(1)で求めた$2$本の直線と円$C$の接点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を結ぶ直線の方程式は，$x+\text{ノ}y+\text{ハ}=0$となる．

【３】　$k$を実数の定数とする．関数$f(x)=2x^3-3x^2+3k{x}^2-6kx$について，以下の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．また，$f(x)$が極値をもたないときの$k$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$が$2$つの極値をもち，一方が正，他方が負となるときの$k$の範囲を求めよ．

(3)　$k>0$とする．$y=2x$と$y=f(x)$で囲まれた図形のうち，$x\geqq 0$となる部分の面積が$24$となるとき，$k$の値を求めよ．