2023　西南学院大学　神,外国語,国際文化学部MathJax

【１】

1.　$a$を実数の定数とする．$2$つの$2$次関数$f(x)=x^2-2x+a\text{，}$$g(x)=-x^2+6x+2a$について，$f(x)\geqq g(x)$が成り立つような$x$が$0\leqq x\leqq 5$の範囲で少なくとも$1$つ存在するとき，$a$の範囲は，$a\leqq \text{アイ}$となる．

【１】

2.　座標平面上の原点を点$\mathrm{O}$とする．中心$(2\sqrt{3},2)\text{，}$半径$2$の円の上を動く点$\mathrm{P}\text{，}$および中心$(0,0)\text{，}$半径$5$の円の上を動く点$\mathrm{Q}$を考える．$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の最大値は$\text{ウ}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の最大値は$\text{エオ}$である．

【１】

3.　$a$を実数の定数とする．$2$つの直線$x=a\text{，}$$x=a+1$と$2$つの放物線$y=x^2+5\text{，}$$y=-2x^2+8x-7$とで囲まれた図形の面積の最小値は，${\displaystyle \frac{\text{カキ}}{\text{クケ}}}$となる．

【１】

4.　$x\text{，}$$y$を実数とし，$i$を虚数単位とする．$z=x+yi$が複素数の等式$z^2=-128i$を満たすとき，

$(x,y)=(\text{コサ},\text{シ})$または，$(x,y)=(\text{シ},\text{コサ})$

となり，$z=x+yi$が複素数の等式$z^2+8-6i=0$を満たすとき，

$(x,y)=(\text{ス},\text{セ})$または，$(x,y)=(-\text{ス},-\text{セ})$

となる．

【２】

1.　放物線$y=2x^2$上の点$(a,2a^2)$における接線が，放物線$y=-x^2-1$と相異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わるとき，$a$の範囲は，$\left|a\right|>{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ソ}}}{\text{タ}}}$となる．

　また，線分$\mathrm{PQ}$の中点について，その軌跡の方程式は，$y={\displaystyle \frac{\text{チツ}}{\text{テ}}}{x}^2$となり，$x$の取りうる範囲は，$\left|x\right|>{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ト}}}{\text{ナ}}}$となる．

【２】

2.　$15$人の生徒を$3$つのグループ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に分けて学力検査を行った．次の表は，その結果をまとめたものである．生徒全体の得点の平均値は，$\text{ニ}.\text{ヌ}$であり，生徒全体の得点の標準偏差は$\text{ネ}.\text{ノ}$である．

【３】　$a$を実数の定数とする．$3$次関数

$f(x)=x^3+(a-1)x^2$$+(2a-5)x-3a+5$

について，以下の問に答えよ．

(1)　因数定理を用いて，$f(x)$を$1$次式と$2$次式の積に因数分解せよ．

(2)　$f(x)=0$が$2$重解をもつように，$a$の値を定めよ．

(3)　$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつように，$a$の範囲を定めよ．