2023　西南学院大学　人間科学部MathJax

【１】

1. 　$a$を正の整数として，実数全体を全体集合とする．集合

$A=\{x|3\leqq x\leqq 5\}\text{，}$$B=\{x|a-1<x<2a+1\}\text{，}$$C=\{x|4\leqq x\leqq 6\}$

について，以下の問に答えよ．

(1)　$A\cup (B\cap C)=A$となる最小の$a$は$\text{ア}$である．

(2)　$\overline{(\stackrel{‾}{A}\cup B)}\cup (A\cap \bar{B})=\varphi$となる$a$は$\text{イ}$である．

　ただし，空集合を$\varphi$とし，集合$X$に対する補集合を$\bar{X}$とする．

【１】

2.　$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$a>0$として，$2\mathrm{OP}=\mathrm{AP}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡が，直線$4x+3y=3$に接するならば，$a={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$となる．

【１】

3.　$3$次関数の曲線$C\text{：}y=f(x)$が点$(2,4)$を通り，点$(t,f(t))$における接線$l$の傾きが$3t^2-3$であるとき，$f(1)=\text{オ}$である．

　さらに，$t=2$のとき，$y$軸と曲線$C$と接線$l$で囲まれた図形のうち，$x\geqq 0$となる部分の面積は$\text{カキ}$である．

【１】

4.　$k$を実数の定数とする．関数$f(x)=3x^2-6kx+4k+k^2$について，その定義域を$0\leqq x\leqq 2$とするとき，$f(x)$の最小値が$0$となるような$k$の値は，小さい方から順に，$-\text{ク}\text{，}$$\text{ケ}\text{，}$$\text{コ}\text{，}$$\text{サ}$となる．

【２】

1.　$a$を実数の定数とする．$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=-x^2+2ax+2a$について以下の問に答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$が相異なる$2$点で交わるような$a$の範囲は，$\text{シ}<a<\text{ス}$となる．

(2)　$a$の値が(1)で求めた範囲にあるとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を$a$の式で表わすと，

$S={\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}{(\text{タ}a-a^2)}^{\frac{\text{チ}}{\text{ツ}}}\text{．}$

(3)　$a$の値が(1)で求めた範囲にあるとき，面積$S$は$a=\text{テ}$のとき最大となり，その値は${\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}}}$である．

【２】

2.　四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{CD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}\text{，}$辺$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{G}$とする．また，線分$\mathrm{EF}$と線分$\mathrm{CG}$の交点を$\mathrm{H}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}={\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ヌ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AH}}={\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\text{ヒ}}{\text{ハ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}+{\displaystyle \frac{\text{フ}}{\text{ハ}}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$である．

【３】　以下の問に答えよ．

(1)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$\alpha +\beta \ne \pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

　正弦，余弦の加法定理

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \text{，}$

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

を用いて，$\tan (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$を示せ．

(2)　$m_1>m_2>0$とする．$2$つの直線$y=m_{1}x+n_1\text{，}$$y=m_{2}x+n_2$のなす角のうち，鋭角の方を$\theta$とすると，$\tan \theta ={\displaystyle \frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}}$であることを証明せよ．