2023　西南学院大学　全学部MathJax

【１】

1.　右の表は，$5$名の生徒の英語と数学のテストの成績を記録したものである．以下の間に答えよ．

(1)　英語の点数の平均値は$\text{ア}$である．

(2)　数学の点数の分散は$\text{イ}$である．

(3)　数学と英語の点数の相関係数は，小数第$3$位を四捨五入すると，$0.\text{ウエ}$である．

【１】

2.　整式$P(x)$を$x^2-2x-3$で割ったときの余りは$2x-1$となる．このとき${\{P(x)\}}^3-P(x)$を$x^2-2x-3$で割ったときの余りは，$\text{オカ}x+\text{キク}$となる．

【１】

3.　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(-t^3+t^2+2t)\mathit{dt}$は，$x=\text{ケ}$で最大値${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$をとる．

【１】

4.　$x\geqq 1\text{，}$$y\geqq 1$について${({\log }_{3}x-2)}^2+{({\log }_{3}y)}^2=5$が成り立つとき，$x{y}^2$の最小値は$\text{シ}\text{，}$最大値は$3^{\text{ス}}$となる．

【２】

1.　マシンのボタンを$1$回押すと，確率${\displaystyle \frac{2}{3}}$で$0$が出て，確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で$1$が出るとする．このマシンのボタンを$5$回押し，$n$回目に出た数字を$a_{n-1}$として，これらの数字を$a_4{a}_3{a}_2{a}_1{a}_0$と並べた数字を$2$進法で表された数とみなす．この数を$10$進法で表した数を得点とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　得点が$15$点となる確率は${\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソタチ}}}$である．

(2)　得点が奇数となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}$である．

(3)　ボタンを$3$回押した段階で，得点が$6$点以上になることが確定した．このときの，あと$2$回ボタンを押すことで得点が$15$点以上となる条件付き確率は${\displaystyle \frac{\text{トナ}}{\text{ニヌ}}}$である．

【２】

2.　$\{a_n\}$は第$2$項が$17\text{，}$第$10$項が$-7$の等差数列である．$\{b_n\}$は初項から第$3$項までの和が$21\text{，}$初項から第$6$項までの和が$189$となる等比数列である．ただし，公比は実数とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\{a_n\}$の公差は$\text{ネノ}\text{，}$$\{b_n\}$の公比は$\text{ハ}$である．

(2)　$a_n<b_n$が成り立つ最小の$n$の値は$\text{ヒ}$である．

【３】　$a$を$1$より大きな実数の定数とする．

　関数$f(x)=-x^2+a^{2}x\text{，}$$g(x)=x^3-a^2$について，$2$つの曲線$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}$$C_2\text{：}y=g(x)$を考える．以下の問に答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$とで囲まれた図形のうち，$f(x)\leqq g(x)$となる部分の面積$S_1$と，$f(x)\geqq g(x)$かつ$x\leqq 0$となる部分の面積$S_2$を求めよ．

(2)　$S_1=S_2$となるときの$a$の値を求めよ．