2023　福岡大学　前期理学部2月4日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a$を正の実数とし，関数$f(x)$を$f(x)=a{x}^2+4ax+a+2$$\text{（}-4\leqq x\leqq 4\text{）}$で定める．このとき，$f(x)$の最大値を$a$を用いて表すと$\text{(1)}$である．また，$-4\leqq x\leqq 4$を満たす任意の実数$x$に対して$f(x)\geqq 0$となるような$a$の最大値は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$n$を$4$以上の整数とし，$2$次方程式${}_{n}C_2{x}^2+{}_{n}C_{3}x+{}_{n}C_4=0$の$2$つの解$\alpha \text{，}$$\beta$は$\alpha \beta ={\displaystyle \frac{5}{3}}$を満たすとする．このとき，$n$の値は$\text{(3)}$であり，${\alpha }^3+{\beta }^3$の値は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　箱$\mathrm{A}$には赤玉$3$個と青玉$5$個が入っていて，箱$\mathrm{B}$には赤玉$3$個と青玉$6$個が入っている．箱$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出し，箱$\mathrm{B}$から$2$個の玉を取り出すとき，取り出された$3$個の玉の色がすべて同じである確率は$\text{(5)}$である．また，$1$個のさいころを投げて，$4$以下の目が出たときは箱$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出し，$5$以上の目が出たときは箱$\mathrm{B}$から$1$個の玉を取り出す．$1$個のさいころを投げて取り出された玉の色が青だったときに，それが箱$\mathrm{B}$から取り出されたものである確率は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　座標平面において，放物線$C\text{：}y=x^2-2x-11$と直線$y=2x+10$との交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標は$\mathrm{Q}$の$x$座標よりも小さいとする．このとき，$\mathrm{P}$の座標は$\text{(1)}$である．また，点$\mathrm{X}$が$C$上を$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$まで動くとき，三角形$\mathrm{PQX}$の面積の最大値は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$は等式$4\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$を満たすとし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，線分$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CD}$の長さの比は$\mathrm{BD}:\mathrm{CD}=\text{(3)}$である．また，三角形$\mathrm{PAB}$と$\mathrm{PCD}$の面積の比は$\mathrm{▵PAB}:\mathrm{▵PCD}=\text{(4)}$である．

【３】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$C\text{：}y=\log x$上の点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$が曲線$C$の$0<x<1$の部分を動くとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を最大にする$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線，$C$および$x$軸で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^3-3x^2-x+3$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　関数$f(x)$の極大値と極小値およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

(ⅱ)　座標平面において，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．