2023　福岡大学　前期工学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　赤玉$7$個と白玉$3$個が入った箱から同時に$2$個の玉を取り出し袋$\mathrm{A}$に入れ，さらに，この箱から同時に$2$個の玉を取り出し袋$\mathrm{B}$に入れる．袋$\mathrm{A}$に赤玉$1$個と白玉$1$個が入っている確率は$\text{(1)}$である．また，袋$\mathrm{A}$に赤玉$1$個と白玉$1$個が入っていて，かつ袋$\mathrm{B}$に赤玉$2$個が入っている確率は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　整式$A=2x^2-xy-y^2+x+8y-15$を因数分解すると$A=\text{(3)}$であるから，座標平面において，方程式$A=0$の表す$2$直線のなす角を$\theta$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とすると，$\tan \theta$の値は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　関数$f(x)$を$f(x)=8^x-6\cdot 4^x+6\cdot 2^x$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$で定める．$f(x)$は$x=\text{(5)}$で最大となる．また，$f(x)$は最小値$\text{(6)}$をとる．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　第$n$群の$m$番目$\text{（}1\leqq m\leqq n\text{）}$の数が${\displaystyle \frac{m}{n}}$である数列$\underset{\stackrel{⏟}{\text{第}1\text{群}}}{{\displaystyle \frac{1}{1}}}|$$\underset{\stackrel{⏟}{\text{第}2\text{群}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{2}{2}}}|$$\underset{\underbrace{\text{第}3\text{群}}}{{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{3}{3}}}|{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdots$について，初めて現れる${\displaystyle \frac{6}{7}}$はもとの数列の第$\text{(1)}$項であり，もとの数列の第$2023$項の数は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$i$を虚数単位とし，相異なる$3$つの複素数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$の間に等式$-2i\alpha +(1+2i)\beta -\gamma =0$が成り立つとする．このとき，${\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }}$の偏角を$\theta$とすると，$\cos \theta$の値は$\text{(3)}$である．さらに，$|\beta -\alpha |=2$が成り立つとすると，複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\text{(4)}$である．

【３】　関数$f(x)=(1+\cos x)\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　関数$f(x)$の最大値と最小値およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

(ⅱ)　座標平面において，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．