2023　福岡大学　後期文系MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}$のとき，$a+{\displaystyle \frac{1}{a}}$の値は$\text{(1)}$であり，$a^3+{\displaystyle \frac{1}{a^3}}$の値は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$m\text{，}$$n$は正の整数で，$m\leqq n$をみたすとする．${\displaystyle \frac{1}{m}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$が成立するとき，正の整数$m\text{，}$$n$を求めると，$(m,n)=\text{(3)}$である．

　また，${\displaystyle \frac{4}{7}}$を小数で表すとき，小数第$100$位の数は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　数直線上を動く点$\mathrm{A}$が原点にある．$1$個のさいころを投げて，$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の目が出たときには$\mathrm{A}$は正の向きに$2$だけ進み，$5\text{，}$$6$が出たときには$\mathrm{A}$は負の方向に$1$だけ進む．さいころを続けて$5$回投げたあとの点$\mathrm{A}$の座標を$n$とする．このとき$n$のとりうる値をすべてあげると，$n=\text{(5)}$である．また，$n=4$となる確率は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，関数$y=\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$の最大値は$\text{(1)}$である．また，関数$y=\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のグラフと直線$y=k$の共有点の個数が$2$個であるとき，定数$k$の値の範囲は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　放物線$C\text{：}y=-x^2+ax+b$と$x$軸が$2$点で交わるとき，交点の$x$座標を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．ただし，$\alpha <\beta$である．また，$C$の頂点の$y$座標を$s$とする．このとき，$\beta -\alpha$は$s$を用いて$\text{(3)}$と表せ，$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$s$を用いて$\text{(4)}$と表せる．

【３】　$f(x)=x^3-x^2-3x-2$とする．曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$$(-1,f(-1))$における$C$の接線を$l$とし，接線$l$と曲線$C$の共有点で，$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$$(a,f(a))$とする．

　また，不等式$-1<t<a$をみたす実数$t$に対して，直線$x=t$と接線$l$の交点を$\mathrm{R}$とし，直線$x=t$と曲線$C$との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{RS}$の長さの最大値を求めよ．