2023　防衛医科大学校　医学科MathJax

【１】　$xy$平面上に$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2-k^2$$\text{（}k$は正の実数）がある．$C_2$上の点$\mathrm{T}$から$C_1$に$2$本の接線を引き，その接点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする$\text{（}\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいものとする）．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{T}$を$C_2$上で動かしたときの$\mathrm{M}$の軌跡の方程式は$\text{1}$である．$\mathrm{M}$の軌跡を$C_3$としたとき，$C_3$が$3x^2+2xy-y^2+2x+2y\leqq 0$を満たす領域に含まれるような$k$の値の範囲は$k\geqq \text{2}$である．

$\text{1}$の選択肢

$\text{(1) }y=x^2+k^2$$\text{(2) }y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+k^2$$\text{(3) }y=x^2+{\displaystyle \frac{k^2}{2}}$$\text{(4) }y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{k^2}{2}}$$\text{(5) }y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{k^2}{4}}$

$\text{2}$の選択肢

$\text{(1) }{\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{(2) }{\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{2}}$$\text{(3) }{\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{2}}$$\text{(4) }{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}$$\text{(5) }{\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2}}$

【２】　下の$2$式

${\log }_{a}x(x-8)=2$

${\log }_a(5x-42)=1$

を同時に満たす実数$x$が存在するような$a$を$a_0$とする．$a=a_0$のとき，上の$2$式を同時に満たす$x$を$x_0$とすると，$a_0$と$x_0$の積は$\text{3}$である．また，

${\log }_{a}x(x-8)=2{\log }_a(5x-42)$

を満たす$x$をすべて足し合わせると$\text{4}$になる．

$\text{3}$の選択肢

$\text{(1) }24$$\text{(2) }25$$\text{(3) }26$$\text{(4) }27$$\text{(5) }28$

$\text{4}$の選択肢

$\text{(1) }{\displaystyle \frac{49}{6}}$$\text{(2) }9$$\text{(3) }{\displaystyle \frac{103}{6}}$$\text{(4) }{\displaystyle \frac{76}{3}}$$\text{(5) }{\displaystyle \frac{103}{3}}$

【３】　すべての項が有理数である数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は以下のように定義されるものとする．

${\left({\displaystyle \frac{1+5\sqrt{3}}{10}}\right)}^n=a_n+\sqrt{3}{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ここで，$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$はそれぞれ$a_n\text{，}$$b_n$と有理数$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$$D$を用いて，$a_{n+1}=A{a}_n+B{b}_n\text{，}$$b_{n+1}=C{a}_n+D{b}_n$と表すことができ，このとき$A+B+C+D$は$\text{5}$である$\text{（}n\geqq 1\text{）．}$また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i$は$\text{6}$となる．

$\text{5}$の選択肢

$\text{(1) }{\displaystyle \frac{7}{5}}$$\text{(2) }{\displaystyle \frac{9}{5}}$$\text{(3) }{\displaystyle \frac{11}{5}}$$\text{(4) }{\displaystyle \frac{13}{5}}$$\text{(5) }3$

$\text{6}$の選択肢

$\text{(1) }6$$\text{(2) }8$$\text{(3) }10$$\text{(4) }12$$\text{(5) }14$

【４】　複素数平面上に異なる$3$点${\mathrm{P}}_1(z_1)\text{，}$${\mathrm{P}}_2(z_2)\text{，}$${\mathrm{P}}_3(z_3)$がある．複素数$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3$が次の$3$つの条件を満たすとする．

条件１：$z_1^2+z_2^2-z_1{z}_2=0$

条件２：$\left|z_1\right|=\sqrt{2}$

条件３：$z_3=z_1+z_2$

このとき，$\left|z_2\right|$は$\text{7}$である．また，この$3$つの条件を満たす${\mathrm{P}}_1(z_1)\text{，}$${\mathrm{P}}_2(z_2)\text{，}$${\mathrm{P}}_3(z_3)$を頂点とする三角形の面積は$\text{8}$になる．

$\text{7}$の選択肢

$\text{(1) }\sqrt{2}$$\text{(2) }{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$\text{(3) }{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$$\text{(4) }{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}$$\text{(5) }{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{5}}$

$\text{8}$の選択肢

$\text{(1) }{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{(2) }{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$\text{(3) }{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$\text{(4) }1$$\text{(5) }{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$

【５】　白玉$3$個，黒玉$6$個の計$9$個の玉全てを$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に分けることを考える．分け方の数え方については同じ色の玉は区別せず，箱は区別するものとする．また，玉が入らない箱がある場合も分け方として数えるものとする．このとき，分け方の総数は$\text{9}\text{10}\text{11}$通りである．どの箱にも少なくとも$1$個以上玉が入る分け方は$\text{12}\text{13}\text{14}$通りある．また，どの箱にも白玉が$2$個以上または黒玉が$2$個以上入る分け方は$\text{15}\text{16}$通りである．

【６】　$xy$平面において，曲線$y=\sin x$と$y=a\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}$がある．ただし，$a$は実数の定数であり，$x$の取りうる範囲は$0\leqq x\leqq 2\pi$である．この$2$曲線は$0<x<2\pi$の範囲においてただ$1$つ交点をもつものとし，その交点の$x$座標を$x_0$とする．このとき，この$2$曲線で囲まれる図形は$2$つあり，$y$軸と直線$x=x_0$で挟まれる方の面積を$S_1\text{，}$もう一方の面積を$S_2$とする．$S_1=4S_2$であるとき，$a$を$x_0$で表すと

$a=\text{17}\cos {\displaystyle \frac{x_0}{\text{18}}}$

となり，$a$の値は

$a=-{\displaystyle \frac{\text{19}}{\text{20}}}$

である．

【７】　$xyz$空間に点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の球面$S$があり，$S$上に異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$をとる．ここで，$\mathrm{▵ABC}$は$xy$平面上にある正三角形で点$\mathrm{A}$の座標は$(2,0,0)$であり，点$\mathrm{B}$の$y$座標の値が正であるとする．$S$上にある点$\mathrm{P}$が，$\mathrm{\angle BOP}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$という条件を満たして動くとき，$z$座標の値が最小であるような点$\mathrm{P}$を${\mathrm{P}}_1$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_1$の座標を求めよ．

(2)　$S$上にある点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{\angle QO}{\mathrm{P}}_1={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$という条件を満たして動くとき，線分$\mathrm{AQ}$の長さが最小となる点$\mathrm{Q}$を${\mathrm{Q}}_1$とする．このとき，三角錐$\mathrm{ABC}{\mathrm{Q}}_1$の体積はいくらか．