2023　国立看護大学校　入学選抜試験MathJax

【１】(1)　${(2\sqrt{7}-\sqrt{2})}^2=\text{アイ}-\text{ウ}\sqrt{\text{エオ}}$である．整数$n$が$n-{\displaystyle \frac{1}{2}}<\text{ウ}\sqrt{\text{エオ}}<n$を満たすとすると，$n=\text{カキ}$であるから，${(2\sqrt{7}-\sqrt{2})}^2$に最も近い整数を$N$とすると，$N=\text{クケ}$である．

【１】(2)　下の表は，$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{H}$の$8$人の児童の国語と算数のテストの結果をまとめたものである．各児童の得点は両教科とも$0$以上$20$以下の整数で，$8$人の国語の得点の平均値は$12\text{，}$算数の得点の平均値は$11$である．また，国語の得点と算数の得点の共分散は$1$である．

　$x=\text{コサ}\text{，}$$y=\text{シス}$である．

　算数の得点の分散は${\displaystyle \frac{\text{セソ}}{\text{タ}}}\text{，}$国語の得点と算数の得点の相関係数は${\displaystyle \frac{\text{チ}\sqrt{\text{ツ}}}{\text{テト}}}$である．

　また，以下の選択肢のうち．国語の得点を横軸に，算数の得点を縦軸にとった散布図は$\text{ナ}$である．

【２】　$k$を実数の定数とする．$2$次関数$f(x)=-3x^2+4kx+6k$について，$y=f(x)$のグラフを$C$とする．

(1)　$C$の頂点の座標を$(p,q)$とするとき，$p={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}k\text{，}$$q={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}{k}^2+\text{オ}k$である．

　$q$は$k=-{\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}$のとき最小値$-{\displaystyle \frac{\text{クケ}}{\text{コ}}}$をとる．

(2)　定義域を$-1\leqq x\leqq 3$とする．$f(x)$の最小値を$m$とすると，

$k\leqq {\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}$のとき，$m=\text{スセ}k-\text{ソタ}$

${\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\leqq k$のとき，$m=\text{チ}k-\text{ツ}$

である．

(3)　(2)の$m$について，$m=5$となるとき，$-1\leqq x\leqq 3$における$f(x)$の最大値は${\displaystyle \frac{\text{テトナ}}{\text{ニ}}}$である．

【３】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$について，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{CD}=3\text{，}$$\cos \mathrm{\angle BAD}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$であり，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{BE}=\mathrm{ED}$が成り立つ．

(1)　$\mathrm{BD}=\text{ア}\sqrt{\text{イ}}$である．

(2)　$\mathrm{CE}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ウ}}}{\text{エ}}}\text{，}$$\cos \mathrm{\angle BEC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{オ}}}{\text{カ}}}$である．

(3)　$\mathrm{AE}={\displaystyle \frac{\text{キ}\sqrt{\text{ク}}}{\text{ケ}}}$であるから，三角形$\mathrm{BCD}$の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{BAD}$の面積を$S_2$ とすると$S_2=\text{コ}{S}_1$である．

(4)　四角形$\mathrm{ABCD}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\text{サ}\sqrt{\text{シ}}}{\text{ス}}}$である．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のアルファベットがそれぞれ$1$つずつ書かれた$4$つの玉と，$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の数字がそれぞれ$1$つずつ書かれた$3$つの玉がある．これら$7$つの玉を円周上に等間隔に並べる並べ方を考える．ただし，回転して一致する並べ方は$1$通りとして数えるものとする．

(1)　玉の並べ方は全部で$\text{アイウ}$通りある．

(2)　数字が書かれた玉が$3$つとも隣り合う並べ方は$\text{エオカ}$通りであり，数字が書かれた玉どうしが隣り合わない並べ方は$\text{キクケ}$通りである．

(3)　玉をでたらめ（無作為）に並べるとき，$\mathrm{A}$が書かれた玉と$1$が書かれた玉が隣り合わないような並べ方になる確率は${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$であり，$\mathrm{A}$が書かれた玉と$1$が書かれた玉が隣り合わないという条件の下で，数字が書かれた玉どうしが隣り合わないような並べ方になる確率は${\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{スセ}}}$である．

【５】　$l\text{，}$$m\text{，}$$n$を正の整数とする．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{l}}+{\displaystyle \frac{1}{m}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{（}l\leqq m\text{）}$を満たす$l\text{，}$$m$の組の個数は$\text{ア}$である．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{l}}+{\displaystyle \frac{1}{m}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$$\text{（}l<m\text{）}$を満たす$l\text{，}$$m$の組の個数は$\text{イ}$である．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{l}}+{\displaystyle \frac{1}{m}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{（}l<m<n\text{）}$を満たす$l\text{，}$$m\text{，}$$n$の組の個数は$\text{ウ}$で，そのうち$l$が最大である組は，$m$の値が小さい順に

$(l,m,n)$$=(\text{エ},\text{オ},\text{カキ})\text{，}$$(\text{ク},\text{ケ},\text{コサ})$

である．

【６】　$1$辺の長さが$12$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{CA}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{CN}$と線分$\mathrm{AL}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{AL}$と線分$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{BM}$と線分$\mathrm{CN}$の交点を$\mathrm{R}$とする．また，三角形$\mathrm{NBC}$の外接円と直線$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{T}$とする．

(1)　$\mathrm{AP}={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\mathrm{AL}\text{，}$$\mathrm{BQ}={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エオ}}}\mathrm{BM}\text{，}$$\mathrm{CR}={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キク}}}\mathrm{CN}$である．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とすると，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{ケコサ}}{\text{シスセソ}}}S$である．

(3)　$\mathrm{BM}={\displaystyle \frac{\text{タチ}\sqrt{\text{ツテ}}}{\text{ト}}}\text{，}$$\mathrm{MT}={\displaystyle \frac{\text{ナ}\sqrt{\text{ニヌ}}}{\text{ネノ}}}$である．