2023　職業能力開発総合大学校　一般MathJax

【１】　次の(イ)〜(ヨ)に適する数値を解答欄に記入しなさい．

(1)　$x=\sqrt{12-6\sqrt{3}}\text{，}$$y=\sqrt{12+6\sqrt{3}}$とする．このとき，$xy=\text{(イ)}\text{，}$$x+y=\text{(ロ)}$である．また，$x^3+y^3=\text{(ハ)}$である．ただし，$\text{(イ)}\text{，}$$\text{(ロ)}\text{，}$$\text{(ハ)}$は有理数であり，根号を用いずに表しなさい．

【１】　次の(イ)〜(ヨ)に適する数値を解答欄に記入しなさい．

(2)　初項$2\text{，}$公差$-3$の等差数列$\{a_n\}$に対して，$a_{10}=\text{(ニ)}$である．さらに，${\log }_2{b}_n=a_n$で定まる数列$\{b_n\}$について，$b_3=\text{(ホ)}$であり．$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k=\text{(へ)}$である．

【１】　次の(イ)〜(ヨ)に適する数値を解答欄に記入しなさい．

(3)　関数$f(\theta )=4{\cos }^2\theta -4{\sin }^2\theta$$+6\sin \theta \cos \theta$$+4\sin \theta +12\cos \theta$について，$t=\sin \theta +3\cos \theta$とおくと，$f(\theta )$は$t$の$2$次関数になる．$t$のとりうる値の範囲は$\text{(ト)}\leqq t\leqq \text{(チ)}$であるので，関数$f(\theta )$の最大値は$\text{(リ)}$であり，最小値は$\text{(ヌ)}$である．

【１】　次の(イ)〜(ヨ)に適する数値を解答欄に記入しなさい．

(4)　複素数$\alpha ={\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{2}}}$に対して，$\left|\alpha \right|=\text{(ル)}\text{，}$$\alpha$の偏角は$\text{(ヲ)}$(ラジアン)である．ただし，$i$は虚数単位であり，$0\leqq \text{(ヲ)}<2\pi$である．このとき，$|{\alpha }^{2023}-{\alpha }^5|=\text{(ワ)}$である．また，複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$を頂点とする$\mathrm{▵OAB}$が正三角形であり，$\beta +\bar{\beta }>0$のとき，$\beta$の実部は$\text{(カ)}$であり，虚部は$\text{(ヨ)}$である．

【２】　次の(イ)〜(ヲ)に適する数値を解答欄に記入しなさい．

(1)　$a$を実数の定数とする．関数$f(x)=x^3-3x^2+a$について，曲線$y=f(x)$を$C$とする．関数$f(x)$は$x=\text{(イ)}$のとき極大値をとり，$x=\text{(ロ)}$のとき極小値をとる．極小値が$0$になるとき，$a=\text{(ハ)}$である．このとき，点$\mathrm{P}$$(1,f(1))$における曲線$C$の接線を$l$とする．接線$l$の$y$軸上の切片は$\text{(ニ)}$であり，接線$l\text{，}$曲線$C$と$y$軸で囲まれた図形の面積は$\text{(ホ)}$である．

【２】　次の(イ)〜(ヲ)に適する数値を解答欄に記入しなさい．

(2)　$\mathrm{O}$$(0,0,0)$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}$$(3,-4,5)\text{，}$$\mathrm{B}$$(a,b,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,6)$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=5\sqrt{3}$である．このとき$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\text{(へ)}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\text{(ト)}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\text{(チ)}$である．ただし，$a\text{，}$$b$は定数である．さらに，$a>0$のとき，$a=\text{(リ)}\text{，}$$b=\text{(ヌ)}$である．平面$\mathrm{OAB}$上の任意の点$\mathrm{P}$は，実数$s\text{，}$$t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すことができる．線分$\mathrm{CP}$が平面$\mathrm{OAB}$に垂直になるのは$s=\text{(ル)}\text{，}$$t=\text{(ヲ)}$のときである．

【３】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も［解答欄］に記入しなさい．

(1)　$3$つの集合，$A=\{x|x=n^2\text{，}n\text{は}1\text{桁の自然数}\}\text{，}$$B=\left\{x\right|x\text{は}72\text{の正の約数}\}\text{，}$$C=\{x|x=mn\text{，}m\text{と}n\text{は}1\text{桁の自然数}\}$について，以下の$\text{①}$$\text{②}$$\text{③}$の問いに答えなさい．

$\text{①}$　集合$A$の要素の総和を求めなさい．

$\text{②}$　集合$A\cup B$の要素の個数を求めなさい．

$\text{③}$　次の$$に適するものを下の(ア)〜(エ)から$1$つ選びなさい．

　$a\in B$は$a\in C$であるための$\text{．}$

(ア)　必要条件であるが十分条件ではない

(イ)　十分条件であるが必要条件ではない

(ウ)　必要十分条件である

(エ)　必要条件でも十分条件でもない

【３】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も［解答欄］に記入しなさい．

(2)　さいころを$5$回振り，出た目によって○または×のマークを左から書き並べる．以下の$\text{①}$$\text{②}$の問いに答えなさい．

$\text{①}$　出た目が偶数のときは○，奇数のときは×と定める．同じマークが隣り合わない確率を求めなさい．

$\text{②}$　出た目が$3$の倍数のときは○，$3$の倍数でないときは×と定める．○が$3$つ以上連続する確率を求めなさい．

【４】　曲線$y=x{e}^{-x}$を$C$とする．関数$y=x{e}^{-x}$は$x=a$で極大値をとる．曲線$C$上の点$(a,a{e}^{-a})$を$\mathrm{A}$とする．曲線$C$の変曲点を$\mathrm{B}$とする．原点を$\mathrm{O}$とする．以下の$\text{①}$$\text{②}$$\text{③}$の問いに答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も［解答欄］に記入しなさい．

$\text{①}$　点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．

$\text{②}$　点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．

$\text{③}$　線分$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$および曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めなさい．