2023　職業能力開発総合大学校　推薦MathJax

【１】　次の(イ)〜(ト)に適する数値または番号等を解答欄に記入しなさい．

(1)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$のとき，$xy=\text{(イ)}\text{，}$${\displaystyle \frac{y}{x}}+{\displaystyle \frac{x}{y}}=\text{(ロ)}$である．ただし，$\text{(イ)}\text{，}$$\text{(ロ)}$は有理数であり，根号を用いずに表しなさい．

【１】　次の(イ)〜(ト)に適する数値または番号等を解答欄に記入しなさい．

(2)　$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$とする．$3{\sin }^2\theta +5\cos \theta =1$のとき，$\cos \theta =\text{(ハ)}$である．その$\theta$の値は下の$\text{①}\text{〜}$$\text{⑥}$の不等式のうち，$\text{(ニ)}$をみたす．

【１】　次の(イ)〜(ト)に適する数値または番号等を解答欄に記入しなさい．

(3)　不等式$5|x+1|<3x+11$の解は$\text{(ホ)}<x<\text{(へ)}$である．

【１】　次の(イ)〜(ト)に適する数値または番号等を解答欄に記入しなさい．

(4)　$U=\{x|x\text{は}1\text{桁の自然数}\}$を全体集合とする．$U$の部分集合$A=\{x|x\text{は}1\text{桁の奇数}\}\text{，}$$B=\{x|x\text{は}6\text{の正の約数}\}$について，$A\cap \bar{B}$の要素を書き並べて表すと$A\cap \bar{B}=\{\text{(ト)}\}$である．

【２】　$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフ$C$の頂点が点$(3,-1)$である．次の各問に答えなさい．

(1)　定数$a\text{，}$$b$の値を求めなさい．

(2)　以下の(イ)〜(ホ)に適する値を求めなさい．

　グラフ$C$を$x$軸方向に$\text{(イ)}\text{，}$$y$軸方向に$\text{(ロ)}$だけ平行移動すると，関数$y=x^2-4$のグラフになる．関数$y=x^2-4$のグラフを$x$軸に関して対称移動すると，関数$y=-x^2+\text{(ハ)}$のグラフ$D$になる．グラフ$C$と$D$の$2$つの共有点の座標のうち$y$座標が大きい方の座標は$(\text{(ニ)},\text{(ホ)})$である．

(3)　関数$y=x^2+ax+b$$\text{（}0\leqq x\leqq k\text{）}$の最大値が$8\text{，}$最小値が$-1$になるような定数$k$の値の範囲を求めなさい．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=6\text{，}$$\mathrm{CA}=5$である．$\mathrm{▵ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．このとき，次の各問に答えなさい．

(1)　$\cos \mathrm{\angle BAC}$の値を求めなさい．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めなさい．

(3)　線分$\mathrm{AO}$の長さを求めなさい．

(4)　$\sin \mathrm{\angle BAO}$と$\sin \mathrm{\angle CAO}$の値をそれぞれ求めなさい．また，直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．