2023　防衛大学校　一般MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)=(\tan x)\log |\sin x|$の$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$における微分係数$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　$-1-\log 2$　　$\text{ⓑ}$　$-1+\log 2$　　$\text{ⓒ}$　$-1$　　$\text{ⓓ}$　$0$

$\text{ⓔ}$　$1$　　$\text{ⓕ}$　$1-\log 2$　　$\text{ⓖ}$　$1+\log 2$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(2)　$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{AC}=3$である$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle A}$の二等分線上にある点$\mathrm{P}$が

$\overrightarrow{\mathrm{BP}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{BA}}+k\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

を満たすとする．このとき，定数$k$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　${\displaystyle \frac{1}{5}}$　　$\text{ⓑ}$　${\displaystyle \frac{1}{4}}$　　$\text{ⓒ}$　${\displaystyle \frac{3}{10}}$　　$\text{ⓓ}$　${\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\text{ⓔ}$　${\displaystyle \frac{1}{6}}$　　$\text{ⓕ}$　${\displaystyle \frac{1}{3}}$　　$\text{ⓖ}$　${\displaystyle \frac{7}{10}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(3)　$a$は正の定数とする．定積分${\displaystyle {\int }_a^{2a}}{\displaystyle \frac{x-a}{{(x-3a)}^2}}\mathit{dx}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　$1$　　$\text{ⓑ}$　$\log 2$　　$\text{ⓒ}$　$1-\log 2$　　$\text{ⓓ}$　$1+\log 2$

$\text{ⓔ}$　$2-\log 2$　　$\text{ⓕ}$　$2+\log 2$　　$\text{ⓖ}$　$2-2\log 2$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(4)　複素数平面上の点$z$は，点$i$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円上を動くとする．このとき，$w={\displaystyle \frac{z}{3z-3i}}$で表される点$w$が描く図形は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　中心が点${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$半径${\displaystyle \frac{2}{3}}$の円　　$\text{ⓑ}$　中心が点$-{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$半径${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$の円

$\text{ⓒ}$　中心が点${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$半径${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$の円　　$\text{ⓓ}$　中心が点$-{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$半径${\displaystyle \frac{4}{3}}$の円

$\text{ⓔ}$　中心が点${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$半径${\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$の円　　$\text{ⓕ}$　中心が点$-{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$半径$\sqrt{2}$の円

$\text{ⓖ}$　中心が点${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$半径$2$の円　　$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(5)　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_{x-2}^{x+1}}t(t-1)\mathit{dt}$の最小値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　$1$　　$\text{ⓑ}$　${\displaystyle \frac{3}{2}}$　　$\text{ⓒ}$　$2$　　$\text{ⓓ}$　${\displaystyle \frac{5}{2}}$

$\text{ⓔ}$　$3$　　$\text{ⓕ}$　${\displaystyle \frac{7}{2}}$　　$\text{ⓖ}$　$4$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(6)　$a$は正の定数とする．関数$y=x^2-2ax+2$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$の最小値が$-a$であるとき，$a$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　${\displaystyle \frac{1}{4}}$　　$\text{ⓑ}$　${\displaystyle \frac{1}{2}}$　　$\text{ⓒ}$　${\displaystyle \frac{3}{4}}$　　$\text{ⓓ}$　$1$

$\text{ⓔ}$　${\displaystyle \frac{3}{2}}$　　$\text{ⓕ}$　$2$　　$\text{ⓖ}$　$3$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(7)　$2$つの放物線$y=x^2+x\text{，}$$y=-x^2+1$で囲まれた図形の面積は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　${\displaystyle \frac{1}{48}}$　　$\text{ⓑ}$　${\displaystyle \frac{1}{24}}$　　$\text{ⓒ}$　${\displaystyle \frac{9}{16}}$　　$\text{ⓓ}$　${\displaystyle \frac{5}{8}}$

$\text{ⓔ}$　${\displaystyle \frac{9}{8}}$　　$\text{ⓕ}$　${\displaystyle \frac{13}{8}}$　　$\text{ⓖ}$　${\displaystyle \frac{17}{8}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(8)　$\tan 15\mathrm{°}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　$\sqrt{3}-2$　　$\text{ⓑ}$　$2-\sqrt{3}$　　$\text{ⓒ}$　$2+\sqrt{3}$　　$\text{ⓓ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$

$\text{ⓔ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}$　　$\text{ⓕ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$　　$\text{ⓖ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$について，辺$\mathrm{BC}\text{，}$辺$\mathrm{CA}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$をそれぞれ$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．また，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{L}\text{，}$線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CR}$の交点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{CR}$と線分$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{5}}$　　$\text{ⓑ}$　${\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{5}}$　　$\text{ⓒ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{19}}{5}}$　　$\text{ⓓ}$　${\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}$

$\text{ⓔ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{5}}$　　$\text{ⓕ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{22}}{5}}$　　$\text{ⓖ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{23}}{5}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AL}}\right|$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　${\displaystyle \frac{3\sqrt{17}}{17}}$　　$\text{ⓑ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$　　$\text{ⓒ}$　${\displaystyle \frac{3\sqrt{19}}{19}}$　　$\text{ⓓ}$　${\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{10}}$

$\text{ⓔ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{7}}$　　$\text{ⓕ}$　${\displaystyle \frac{3\sqrt{22}}{22}}$　　$\text{ⓖ}$　${\displaystyle \frac{3\sqrt{23}}{23}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(3)　三角形$\mathrm{LMN}$の面積は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{76}}$　　$\text{ⓑ}$　${\displaystyle \frac{1}{38}}$　　$\text{ⓒ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{76}}$　　$\text{ⓓ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{77}}$

$\text{ⓔ}$　${\displaystyle \frac{2}{77}}$　　$\text{ⓕ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{77}}$　　$\text{ⓖ}$　${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{77}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【３】　関数$f(x)=e^{-x}\sin x$$\text{（}x>0\text{）}$が極大となる$x$の値を，小さい方から順に並べた数列を$a_1\text{,}$$a_2\text{,}$$a_3\text{,}\cdots$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$における微分係数$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　$1$　　$\text{ⓑ}$　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$　　$\text{ⓒ}$　$0$　　$\text{ⓓ}$　$-1$

$\text{ⓔ}$　$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$　　$\text{ⓕ}$　${\displaystyle \frac{1}{2}}$　　$\text{ⓖ}$　$\sqrt{2}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(2)　$a_2$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$　　$\text{ⓑ}$　${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$　　$\text{ⓒ}$　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$　　$\text{ⓓ}$　${\displaystyle \frac{5}{4}}\pi$

$\text{ⓔ}$　${\displaystyle \frac{9}{4}}\pi$　　$\text{ⓕ}$　${\displaystyle \frac{13}{4}}\pi$　　$\text{ⓖ}$　${\displaystyle \frac{17}{4}}\pi$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(3)　$b_n=e^{\frac{\pi }{4}}f(a_n)$とおくとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{b}_n$の和は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}(e^{2\pi }-1)}}$　　$\text{ⓑ}$　${\displaystyle \frac{e^{2\pi }}{\sqrt{2}(e^{2\pi }-1)}}$

$\text{ⓒ}$　${\displaystyle \frac{e^{4\pi }}{\sqrt{2}(e^{2\pi }-1)}}$　　$\text{ⓓ}$　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}{e}^{\pi }(e^{\pi }-1)}}$

$\text{ⓔ}$　${\displaystyle \frac{e^{\pi }}{\sqrt{2}(e^{\pi }-1)}}$　　$\text{ⓕ}$　${\displaystyle \frac{e^{3\pi }}{\sqrt{2}(e^{\pi }-1)}}$　　$\text{ⓖ}$　$2$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【４】　数列$\{a_n\}$は${\displaystyle \sum _{n=5}^{13}}{a}_n=0$を満たす公差${\displaystyle \frac{1}{2}}$の等差数列とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_1$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　$-3$　　$\text{ⓑ}$　$-{\displaystyle \frac{7}{2}}$　　$\text{ⓒ}$　$-{\displaystyle \frac{15}{4}}$　　$\text{ⓓ}$　$-4$

$\text{ⓔ}$　$-{\displaystyle \frac{17}{4}}$　　$\text{ⓕ}$　$-{\displaystyle \frac{9}{2}}$　　$\text{ⓖ}$　$-{\displaystyle \frac{19}{4}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(2)　数列$\{b_n\}$が${\log }_4(b_n-{\displaystyle \frac{1}{3}})=a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$を満たすとき，$b_{10}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　${\displaystyle \frac{5}{6}}$　　$\text{ⓑ}$　$1$　　$\text{ⓒ}$　${\displaystyle \frac{7}{3}}$　　$\text{ⓓ}$　${\displaystyle \frac{13}{3}}$

$\text{ⓔ}$　${\displaystyle \frac{19}{3}}$　　$\text{ⓕ}$　${\displaystyle \frac{23}{3}}$　　$\text{ⓖ}$　${\displaystyle \frac{25}{3}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(3)　(2)の数列$\{b_n\}$について，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k>2023$となる最小の$n$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　$8$　　$\text{ⓑ}$　$9$　　$\text{ⓒ}$　$11$　　$\text{ⓓ}$　$12$

$\text{ⓔ}$　$15$　　$\text{ⓕ}$　$18$　　$\text{ⓖ}$　$19$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【５】　$a$は正の定数とする．$x$の$2$次方程式

$({\log }_{2}3)x^2+({\log }_{\frac{1}{2}}{a}^2)x$$-({\log }_{3}2)({\log }_{\frac{1}{2}}a)+{\log }_{3}64=0$

の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$\alpha +\beta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$a^{-4}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　$1$　　$\text{ⓑ}$　$2$　　$\text{ⓒ}$　$3$　　$\text{ⓓ}$　$4$

$\text{ⓔ}$　${\displaystyle \frac{1}{4}}$　　$\text{ⓕ}$　${\displaystyle \frac{1}{3}}$　　$\text{ⓖ}$　${\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(2)　$a=64$のとき，${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　${\log }_{3}2$　　$\text{ⓑ}$　${\log }_{2}3$　　$\text{ⓒ}$　$4{\log }_{3}2$　　$\text{ⓓ}$　$4{\log }_{2}3$

$\text{ⓔ}$　$6$　　$\text{ⓕ}$　$6{\log }_{3}2$　　$\text{ⓖ}$　$6{\log }_{2}3$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(3)　$\alpha \text{，}$$\beta$がともに虚数となる$a$のうち，最大の整数は次のどれか．

$\text{ⓐ}$　$2$　　$\text{ⓑ}$　$3$　　$\text{ⓒ}$　$4$　　$\text{ⓓ}$　$5$

$\text{ⓔ}$　$6$　　$\text{ⓕ}$　$7$　　$\text{ⓖ}$　$8$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　複素数${\displaystyle \frac{(7+i){(3+i)}^2}{1-i}}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }50$$\text{ⓑ }-50$$\text{ⓒ }50i$$\text{ⓓ }50(1+i)$

$\text{ⓔ }50(1-i)$$\text{ⓕ }50(-1+i)$$\text{ⓖ }50(-1-i)$

$\text{ⓗ }$以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(4)　整式$P(x)$を$x-1\text{，}$$x+1$で割った余りがそれぞれ$-2\text{，}$$4$であるとき，$P(x)$を$x^2-1$で割った余りは次のどれか．

$\text{ⓐ }3x-1$$\text{ⓑ }2x$$\text{ⓒ }x+1$$\text{ⓓ }0$

$\text{ⓔ }-x-1$$\text{ⓕ }-2x$$\text{ⓖ }-3x+1$

$\text{ⓗ }$以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(5)　$({\log }_{2}45+{\log }_2{\displaystyle \frac{1}{15}})({\log }_9{\displaystyle \frac{64}{7}}+{\log }_{3}2\sqrt{7})$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ }1$$\text{ⓑ }2$$\text{ⓒ }4$$\text{ⓓ }6$

$\text{ⓔ }7$$\text{ⓕ }8$$\text{ⓖ }9$

$\text{ⓗ }$以上のどれでもない．